Uniseem数学的真谛不在于数字、方程、计算或算法，而在于理解。
—W. Thurston
曲线和曲面是古典微分几何的主要研究对象。微分学的产生促使人们可以定量地描述曲线和曲面的弯曲程度。简言之，我们用切向量的变化率来描述曲线的弯曲程度。对曲面而言，类似地用切平面的变化率来描述弯曲程度。通过对偶的观点，切平面的变化率等价于其法向量的变化率。法向量的变化率其实是用切平面到自身的一个自伴线性变换来描述的。这个变换的数量信息：迹和行列式被称为曲面的平均曲率和 Gauss 曲率。这些构成了古典微分几何的核心概念。
1.1 空间曲线理论
定义 1.1（空间曲线） 光滑（连续）映射 \alpha: [a, b] \to \mathbb{R}^{3}, \alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) 如果满足 \alpha'(t) \neq 0, \forall t，则被称为一正则光滑（连续）曲线。
注 该定义中我们把映射称为曲线，更多时候，也不加区分地将其在三维空间中的像称为曲线。轨迹相同的曲线可以有不同的参数化。
对于给定的参数曲线 \alpha(t), \alpha'(t) 为其切向量，通过微积分我们知道曲线在 [a, b] 间的长度为
\mathrm{length} (\alpha) = \int_ {a} ^ {b} | \alpha^ {\prime} (t) | \mathrm{d} t.该定义和曲线的参数化无关，是曲线最基本的（一阶）几何量。
为了描述曲线的弯曲程度，我们需要考察切向量的变化率，也就是切向量的导数。如前所述，由于具有同一像集的曲线有不同的参数化，为合理定义切向量的导数，需要一个统一的参数。
定义 1.2（弧长参数） 如果 \left|\alpha'(s)\right| \equiv 1，则称 s 为 \alpha 的弧长参数。
例题 1.1 任一正则光滑曲线 \alpha 上都存在弧长参数，其在相差一个常数和定向的意义下是唯一的。
证明 设 \alpha(t):[0,l]\to\mathbb{R}^{3} 为一正则光滑曲线，令
s (t) = \int_ {0} ^ {t} | \alpha^ {\prime} (u) | \mathrm{d} u.s(t) 的意义是明确的，即为曲线在 [0, t] 之间的长度。
断言 s 即为弧长参数。
首先，注意到
\frac {\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} = | \alpha^ {\prime} (t) | \neq 0, \quad \forall t,所以 s 是 t 的严格单调递增函数。于是存在反函数 t = t(s)，我们视 \alpha 为 s 的函数，那么根据链式法则就有
\left| \frac {\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s} \right| = \left| \frac {\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} t} \right| \left| \frac {\mathrm{d} t}{\mathrm{d} s} \right| \equiv 1,即 s 为弧长参数。相差一个常数和定向的意义下是唯一的，是指若 s_1, s_2 为两个弧长参数，则一定存在常数 c，使得 s_2 = \pm s_1 + c。这个证明留给读者。事实上，通常如果我们约定 s 的取值范围是 [0, l]，其中 l 是 \alpha 的总长度，\alpha(0) = 起点，\alpha(l) = 终点，则 s 是唯一的。
定义 1.3（曲率） 设 \alpha(s) 是一条以弧长为参数的正则光滑曲线，\kappa(s):=|\alpha''(s)| 称为曲线在 \alpha(s) 处的曲率。
关于曲率，我们举两个最简单的计算实例：
例题 1.2（直线） 直线的曲率恒为零。
证明 对于一条过 (x_0, y_0, z_0) 的直线，可以将其参数化为 \alpha(s) = (x_0 + a_1s, y_0 + a_2s, z_0 + a_3s)，其中 (a_1, a_2, a_3) 是单位向量。这样 s 就是弧长参数，很显然 |\alpha''(s)| \equiv 0。
例题 1.3（圆周） 半径为 r 的圆周的曲率恒为 \frac{1}{r}。
证明 不妨假设该圆周落在 x-y 平面上，可以取参数化
\alpha (s) = \left(r \cos \left(\frac {s}{r}\right), r \sin \left(\frac {s}{r}\right), 0\right),这个参数化保证了 s 是弧长参数。简单计算就有 \kappa \equiv \frac{1}{r}。
例题 1.4 若 \gamma: I \subset R \to R^{3} 满足 |\gamma(t)| \equiv 1，则 \gamma'(t) \perp \gamma(t)。
上述事实后面将反复用到，其证明留作练习。下面假定 \gamma 是一条以弧长为参数的正则光滑曲线，且 \gamma''(s) \neq 0, \forall s。
定义 1.4（Frenet 标架）
(1) 记切向量为 t(s)=\gamma'(s)；
(2) 令 n(s) 为 \gamma''(s) 方向上的单位向量，称为法向量；
(3) 令 b(s) = t(s) \wedge n(s)，称为从法向量；
(4) \{t(s), n(s), b(s)\} 在 \gamma(s) 处构成一个正交基，称为 Frenet 标架；
(5) 由 t(s), n(s) 张成的平面叫作密切平面。
密切平面可以看作是在曲线相应点处最贴合曲线的一个平面，其法向量就是从法向量，所以 b'(s) 衡量了密切平面的变化率。b'(s) 一定平行于法向量 n(s)，因为
b ^ {\prime} (s) = (t \wedge n) ^ {\prime} = t ^ {\prime} \wedge n + t \wedge n ^ {\prime} = t \wedge n ^ {\prime} \Longrightarrow b ^ {\prime} \perp t,又由于 b' \perp b，所以有以下定义。
定义 1.5（挠率） 设 b'(s) = \tau(s)n(s)，\tau(s) 被称为 \gamma(s) 的挠率。
例题 1.5（螺旋线） 试计算 \alpha(s)=(a\cos s,a\sin s,bs) 的曲率和挠率，其中 a^{2}+b^{2}=1。
解 切向量为 t(s) = \alpha'(s) = (-a\sin s, a\cos s, b)，由于 a^2 + b^2 = 1，|t(s)| \equiv 1，也就是说 s 正好是弧长参数。又
t ^ {\prime} (s) = (- a \cos s, - a \sin s, 0),故有
\kappa (s) = | t ^ {\prime} (s) | = a, \quad n (s) = (- \cos s, - \sin s, 0).由此知
b (s) = t (s) \wedge n (s) = (b \sin s, - b \cos s, a).
所以 b'(s)=(b\cos s,b\sin s,0)=-bn(s)，故 \tau(s)=-b。
定理 1.1 设 \gamma 是一以弧长为参数的正则光滑曲线，则其 Frenet 标架满足下列一阶微分方程组：
\left\{ \begin{array}{l} t ^ {\prime} (s) = \kappa (s) n (s), \\ n ^ {\prime} (s) = - \kappa (s) t (s) - \tau (s) b (s), \\ b ^ {\prime} (s) = \tau (s) n (s). \end{array} \right.\tag{1.1}证明 只剩 n'(s) 需要计算，由于 n(s) = b(s) \wedge t(s)，就有
\begin{array}{r l} n ^ {\prime} (s) & = (b (s) \wedge t (s)) ^ {\prime} \\ & = b ^ {\prime} (s) \wedge t (s) + b (s) \wedge t ^ {\prime} (s) \\ & = \tau (s) n (s) \wedge t (s) + b (s) \wedge \kappa (s) n (s) \\ & = - \tau (s) b (s) - \kappa (s) t (s). \end{array}下述定理表明空间曲线的曲率和挠率本质上决定该曲线。直观上，我们可以按给定曲率和挠率对一条直线进行弯曲和拧转。该定理的本质是线性一阶常微分方程组的解关于初值的存在唯一性，因此证明从略。
定理 1.2（空间曲线基本定理） 设 \kappa(s) > 0 和 \tau(s) 为定义在某闭区间 I 上的光滑函数，则存在以弧长为参数的正则光滑曲线 \gamma: I \to \mathbb{R}^3，其曲率和挠率恰为 \kappa(s) 和 \tau(s)，并且这样的 \gamma 在相差一个刚体运动下是唯一的，即若 \tilde{\gamma} 是另一条以 \kappa(s) 和 \tau(s) 为曲率和绕率的曲线，则一定存在一个变换 \varphi(x, y, z) = (x, y, z) \cdot A + (x_0, y_0, z_0) 使得 \tilde{\gamma} = \varphi(\gamma)，其中 A 是一个 3 \times 3 正交矩阵。
平面带符号曲率
根据定义，我们知道一条空间曲线的曲率总是非负的。对于平面曲线，可以定义带符号曲率，背后的理由是借助平面定向先规定曲线的法向量。
设 \gamma(s) 是一以弧长为参数的平面曲线。\gamma'(s) = t(s) = (x'(s), y'(s)) 是切向量，规定法向量是 n(s) = (-y'(s), x'(s))，即将切向量逆时针转 90^\circ 得到的单位向量。
定义 1.6（带符号曲率） 设 t'(s) = \kappa(s)n(s)，\kappa(s) 被称为 \gamma 在 s 处的带符号曲率。
定义 1.7（密切圆周） 设 \kappa(s) \neq 0，以 \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} n(s) 为圆心，\left|\frac{1}{\kappa(s)}\right| 为半径的圆周被称为 \gamma 在 s 处的密切圆周。
例题 1.6（比较原理） 设 f, g: (-1, 1) \to R 为两光滑函数，满足
f (x) \geqslant g (x), \quad f (0) = g (0),
则函数图像对应的曲线在原点处的带符号曲率有如下关系：
\kappa_ {f} (0) \geqslant \kappa_ {g} (0).证明 事实上，对于平面曲线 (x, f(x))，简单计算知（见本章习题 9）其带符号曲率为
\kappa (x) = \frac {f ^ {\prime \prime} (x)}{| 1 + f ^ {\prime} (x) ^ {2} | ^ {\frac {3}{2}}}.\tag{1.2}由题设条件知 x=0 为 f-g 的一个局部极小点，于是 f'(0)=g'(0)，f''(0)\geqslant g''(0)。上述原理的一个有趣推论是（见本章习题 10）
推论 1.1 设 \gamma 是一逆时针走向的平面简单闭曲线，则其上一定存在一点使得其带符号曲率为正。
1.2 曲面
本节我们开始研究二维曲面。先仿照参数曲线给出参数曲面的定义。
定义 1.8（参数曲面） 设 \Omega 为 R^{2} 中的一个开集，如果映射
\mathbb {X}: \Omega \subseteq \mathbb {R} ^ {2} \rightarrow \mathbb {R} ^ {3}(u, v) \mapsto \mathbb {X} (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))满足：
(1) X 是光滑的单射；
(2) \mathbb{X}_u, \mathbb{X}_v 处处线性无关，
则称其为一个正则光滑参数曲面。
在此参数化下，\gamma(u) = \mathbb{X}(u, v = \text{常数}), \gamma(v) = \mathbb{X}(u = \text{常数}, v) 分别称为坐标 u 曲线和坐标 v 曲线。
在不发生混淆的情况下，我们仍然不加区别地将映射的像集称为参数曲面。和空间曲线不同的是，参数曲面的定义有局限性，它没有办法涵盖很多常见的曲面。例如球面就没有办法表示成单个参数曲面的像，为此，需要把一个个参数曲面光滑拼接起来得到一个整体定义。
定义 1.9（光滑曲面） 对于三维空间的子集 S \subseteq \mathbb{R}^3，如果 \forall p \in S，存在 p 在 S 中的邻域 V，使得 V 恰为一正则光滑参数曲面 \mathbb{X}: \Omega \to \mathbb{R}^3 的像集，即 V = \mathbb{X}(\Omega)，则称 S 为一正则光滑曲面。映射 \mathbb{X}: \Omega \to \mathbb{X}(\Omega) \ni p 称为 p 点的一个局部参数化。
若 S 是一个有界闭集，我们通常称其为正则光滑闭曲面。如下面例 1.7 的球面，以及在 \mathbb{R}^3 中将圆周 (y - 1)^2 + z^2 = \frac{1}{4}, x = 0 绕 z 轴旋转一周所得的环面。
为了验证某集合 S \subset \mathbb{R}^3 是光滑曲面，逐点检验定义是不现实的，一个通常的做法是验证其可以被有限个参数曲面的像集覆盖。
例题 1.7 验证 \mathbb{S}^2 = \{(x,y,z)|x^2 +y^2 +z^2 = 1\} 是一个正则光滑曲面。
证明 对上半开球 V_{1} = \{(x,y,z)\in \mathbb{S}^{2},z > 0\} 给出一个参数化，
\mathbb {X}: \mathbb {D} ^ {2} \to V _ {1}(u, v) \mapsto \mathbb {X} (u, v) = (u, v, \sqrt {1 - u ^ {2} - v ^ {2}}).验证留给读者。类似地，我们可以对下半开球、左右半开球、前后半开球都找到参数化，而这些参数化的像集之并覆盖整个球面，由此就得到球面是一个正则光滑曲面。
例题 1.8（光滑函数的图像） 设 f: R^{2} \rightarrow R 为一光滑函数，那么其对应的函数图像
S = \{(x, y, z) | z = f (x, y) \}就是一个正则光滑曲面。
例题 1.9（光滑函数正则值的水平集） 设 f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} 为一光滑函数，记 S = f^{-1}(c)。如果对于任意 p \in S，\nabla f(p) \neq 0，c 被称为 f 的正则值。根据隐函数定理，我们可以证明 S 是一个正则光滑曲面。
例题 1.10（非退化二次曲面） 回忆一下非退化二次曲面的分类：
| 椭球面 | \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 |  |
| 椭圆抛物面 | \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-z=0 |  |
| 双曲抛物面 | \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-z=0 |  |
| 单叶双曲面 | \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 |  |
| 双叶双曲面 | \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1 |
以上例子都可以看作光滑函数的正则值水平集，所以都是正则光滑曲面。
设 f: S \to \mathbb{R} 为定义在正则光滑曲面 S 上的函数，我们讨论如何定义 f 的光滑性。因为 S 并不是 \mathbb{R}^3 的开集，所以不能认为 f 是一个三元函数。事实上，通过曲面每点的局部参数化 \mathbb{X}: \Omega \to S，f 可以解读成为 f \circ \mathbb{X}^{-1}: \Omega \to \mathbb{R}，这是一个定义在 \mathbb{R}^2 内开集上的二元函数，这个函数可以按通常的方式定义其光滑性。不过由于曲面每点的局部参数化不唯一，所以还需要说明这种光滑性和局部参数化的选取无关。下面的命题就解释了这个疑点，它也说明了正则光滑曲面是一系列正则光滑参数曲面光滑拼接而成的。
命题 1.1 设 \mathbb{X}_i: \Omega_i \to S, i = 1,2 为正则光滑曲面 S 上 p 点的两个局部参数化，令 W = \mathbb{X}_1(\Omega_1) \cap \mathbb{X}_2(\Omega_2), W_i = \mathbb{X}_i^{-1}(W)，则映射
h _ {1} = \mathbb {X} _ {2} ^ {- 1} \circ \mathbb {X} _ {1}: W _ {1} \to W _ {2}, h _ {2} = \mathbb {X} _ {1} ^ {- 1} \circ \mathbb {X} _ {2}: W _ {2} \to W _ {1}是光滑的。称上述两个映射为两个局部参数化间的转移函数。
证明 以 (u, v) 记 W_{1} 点的坐标，以 (s, t) 记 W_{2} 点的坐标。任取 p \in W，记 q = \mathbb{X}_{1}^{-1}(p)，r = \mathbb{X}_{2}^{-1}(p)。我们的目标是证明 h_{1} 在 q 处光滑。因为 \mathbb{X}_{2} 是一个局部参数化，所以不妨假设
\left. \frac {\partial (x , y)}{\partial (s , t)} \right| _ {r} \neq 0.按如下方式将 X_{2} 延拓成 F: W_{2} \times R \rightarrow R^{3}：
F (s, t, h) = \mathbb {X} _ {2} (s, t) + (0, 0, h).很显然 F 是一个光滑函数，且
\mathrm{d} F | _ {r} = \left( \begin{array}{c c c} \frac {\partial x}{\partial s} & \frac {\partial x}{\partial t} & 0 \\ \frac {\partial y}{\partial s} & \frac {\partial y}{\partial t} & 0 \\ \frac {\partial z}{\partial s} & \frac {\partial z}{\partial t} & 1 \end{array} \right)这样 \operatorname{det}(\mathrm{d}F|_r) \neq 0，根据反函数定理，存在 p 的一个邻域 B，使得 F^{-1} 是 B 上的可微函数，且 F^{-1}|_{B \cap S} = \mathbb{X}_2^{-1}。根据 \mathbb{X}_1 的连续性知，存在 q 的邻域 D，使得 \mathbb{X}_1(D) \subset B \cap S，从而
h _ {1} | _ {D} = F ^ {- 1} \circ \mathbb {X} _ {1} | _ {D},所以 h_{1} 在 q 处可微。再由 p 的任意性，命题得证。
定义 1.10（曲面上函数的光滑性） 设 f: S \to R 为定义在正则光滑曲面上的函数，\forall p \in S，如果对 p 的任一局部参数化 X: \Omega \to S，f \circ X 在 \mathbb{X}^{-1}(p) 处是光滑的，则称 f 在 p 处是光滑。
注 因为 f 在两个不同参数化下的解读只相差一个转移函数的复合，所以根据命题 1.1，上述定义是合理的。
对曲面间映射来说，其光滑性也要在局部参数化下解读。
定义 1.11 设 f: S_{1} \rightarrow S_{2} 为两个正则光滑曲面间的映射，\forall p \in S_{1}，如果对 p 的任一局部参数化 X：\Omega_{1} \rightarrow S_{1} 以及 f(p) 任一局部参数化 Y：\Omega_{2} \rightarrow S_{2}，Y^{-1} \circ f \circ X 在 X^{-1}(p) 处是光滑的，则称 f 在 p 处是光滑的。
定义 1.12（切向量、切平面） 设 S \subseteq \mathbb{R}^3 为一正则光滑曲面，如果有光滑曲线 \alpha: (-\varepsilon, \varepsilon) \to S，满足 \alpha(0) = p，那么其在 0 处的切向量 \alpha'(0) = w 被称为曲面 S 在 p 点处的一个切向量。p 点处切向量的全体记为 T_pS，称为曲面 S 在 p 的切平面。
命题 1.2 T_{p}S 是一个二维线性空间。
证明 该论断的证明将体现曲面讨论的一个基本套路：把曲面上的对象用局部参数化表示出来。设 \mathbb{X}:\Omega\to V 是 p\in S 的一个局部参数化。不失一般性，假定 \mathbb{X}(0,0)=p。将证明 T_{p}S=\operatorname{span}\{\mathbb{X}_{u}(0,0),\mathbb{X}_{v}(0,0)\}，这组基称为参数化的典范基。
\forall w \in T_pS，有 \alpha: (-\varepsilon, \varepsilon) \to S 满足
\alpha (0) = p, \quad \alpha^ {\prime} (0) = w.不妨假设 \alpha 的像集落在 V 中，于是可以将其表示为 \alpha(t)=\mathbb{X}(u(t),v(t))，因此
w = \alpha^ {\prime} (0) = u ^ {\prime} (0) \mathbb {X} _ {u} (0, 0) + v ^ {\prime} (0) \mathbb {X} _ {v} (0, 0).由 w 的任意性，命题得证。
定义 1.13（第一基本形式） 与欧氏内积在 T_{p}S 的限制相伴的二次型称为曲面 S 在 p 点处的第一基本形式，记为 I_{p}，即
\mathrm{I} _ {p}: T _ {p} S \to \mathbb {R}w \mapsto \mathrm{I} _ {p} (w) = w \cdot w.例题 1.11（第一基本形式在局部参数化典范基下的表达） 令
E = \mathbb {X} _ {u} \cdot \mathbb {X} _ {u}, F = \mathbb {X} _ {u} \cdot \mathbb {X} _ {v}, G = \mathbb {X} _ {v} \cdot \mathbb {X} _ {v},记 w = x\mathbb{X}_u + y\mathbb{X}_v\in T_pS, 则
\operatorname{I} _ {p} (w) = E x ^ {2} + 2 F x y + G y ^ {2}.解 根据定义，有
\mathrm{I} _ {p} (w) = \left(x \mathbb {X} _ {u} + y \mathbb {X} _ {v}\right) \cdot \left(x \mathbb {X} _ {u} + y \mathbb {X} _ {v}\right) = (x, y) \left( \begin{array}{c c} E & F \\ F & G \end{array} \right) \binom{x}{y} = E x ^ {2} + 2 F x y + G y ^ {2}.注 我们称 E(u,v), F(u,v), G(u,v) 为第一基本形式在局部参数化下的系数。
用第一基本形式系数可以定义曲面的一阶几何量：如长度、角度等，当然曲面最重要的一阶几何量是面积。
定义 1.14（面积） 曲面 S 上一个区域 R 如果包含于一个局部参数化中，即 \mathbb{X}(\Omega) \supset R，其面积定义为
\operatorname{Area} (R) = \iint_ {\mathbb {X} ^ {- 1} (R)} | \mathbb {X} _ {u} \wedge \mathbb {X} _ {v} | \mathrm{d} u \mathrm{d} v = \iint_ {\mathbb {X} ^ {- 1} (R)} \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} u \mathrm{d} v.注 区域包含于某个参数化中的假设不是本质的。如果 R 没有含于单个参数化内，总是可以将其分解为足够小的区域使得每块都含于单个参数化中，利用面积的可数可加性我们得到 R 的面积。
例题 1.12（球面的 Archimedes 性质） 证明单位球面上被两个间距为 d 的平行平面所截得的带状区域面积为 2\pi d。（居然和两个平行平面的位置无关！）
证明 如下图所示，利用球面坐标，带状区域可以有局部参数化：
\mathbb {X} (\theta , \varphi) = (\sin \varphi \cos \theta , \sin \varphi \sin \theta , \cos \varphi), \quad \theta \in (0, 2 \pi), \varphi \in (\varphi_ {1}, \varphi_ {2}).在此参数化下第一基本形式的系数为
E = \mathbb {X} _ {\theta} \cdot \mathbb {X} _ {\theta} = \sin^ {2} \varphi , F = \mathbb {X} _ {\theta} \cdot \mathbb {X} _ {\varphi} = 0, G = \mathbb {X} _ {\varphi} \cdot \mathbb {X} _ {\varphi} = 1.于是
\begin{array}{r l} \mathrm{Area} & = \int_ {0} ^ {2 \pi} \int_ {\varphi_ {1}} ^ {\varphi_ {2}} \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta \\ & = \int_ {0} ^ {2 \pi} \int_ {\varphi_ {1}} ^ {\varphi_ {2}} \sin \varphi \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} \theta = 2 \pi (- \cos \varphi_ {2} + \cos \varphi_ {1}) = 2 \pi d. \end{array}
注 严格来说，上述局部参数化的像并没有完全覆盖带状区域，只不过相差两条边界曲线，所以不影响面积的计算。上述性质最早由 Archimedes 发现，当宽度取成 2，就得到了球的表面积，这不啻于是一个极具“穿越感”的伟大发现。
思考：一个半径为 1 的平面圆盘可以被 9 条宽度为 0.2 的纸带覆盖吗？感兴趣的读者可以搜索关键词：Tarski’s Plank 问题或参阅文献 [12].
可以证明满足 Archimedes 性质的闭曲面一定是球面（参见本章习题 52），但是如果 Archimedes 性质只对某个固定的宽度 d 成立，亦即若 S 夹在两个间距为 d 的平行平面之间（这两个平行平面都要与 S 相交）的表面积总为 2\pi d，那么 S 是否一定为单位球面仍然是一个公开问题。
1.3 Gauss 映射及其微分
第一基本形式是曲面一阶几何量。本节起，我们将目光转向二阶几何量——曲率。根据本章引言，为了准确描绘曲面的弯曲特性，我们需要考察切平面的变化率。在三维空间中，这一考察可以等价地转化为对法向量变化率的研究，由此衍生出两种不同但相互关联的方法。第一种方法较为整体，它将法向量场视为一个到单位球面的映射，即 Gauss 映射，并通过分析这个映射的微分来量化法向量的变化率。第二种方法则回归到一维层面，专注于考察法向量场沿着曲面上不同方向的变化率。我们将分别展开这两种思路，并见证它们如何殊途同归。
要将法向量场看成到单位球面的映射，局部上总是可以做到，为了整体上得到这样一个映射，我们需要曲面 S 可定向。想必读者肯定对 Möbius 带有所耳闻，这个曲面只有一侧，所以其上不存在一个整体定义的连续法向量场，我们就用这个性质来描述曲面是否可定向。
定义 1.15（可定向曲面） 对于正则光滑曲面 S，如果存在一个连续的法向量场 n(p)(n(p) \perp T_pS, \forall p \in S)，就称 S 为可定向曲面。特别地，如果 S 可定向，其上恰有两个单位法向量场。
定义 1.16（Gauss 映射） 设 n 为可定向曲面 S 上一个选定的单位法向量场，可将其视为到单位球面的映射
n: S \to \mathbb {S} ^ {2}p \mapsto n (p),
该映射被称为曲面 S 的 Gauss 映射。
容易验证，若 S 为一正则光滑可定向曲面，则其上的 Gauss 映射是 S 到单位球面的光滑映射。
我们定义曲面间光滑映射的微分，也称为切映射。
定义 1.17（光滑映射的微分） 设 f: S_1 \to S_2 为一光滑映射，其在 p 点的微分 (\mathrm{df})_p 是一线性映射，
(\mathrm{d} f) _ {p}: T _ {p} S _ {1} \rightarrow T _ {f (p)} S _ {2}w \mapsto (\mathrm{d} f) _ {p} (w).其定义如下：取 \alpha : (-\varepsilon, \varepsilon) \to S_1，使得 \alpha(0) = p, \alpha'(0) = w，令 \beta(s) = f \circ \alpha(s)，则
(\mathrm{d} f) _ {p} (w) = \beta^ {\prime} (0).
w \quad \xmapsto {(\mathrm{d} f) _ {p}} \quad \beta^ {\prime} (0)切映射
上述定义中有一个取 \alpha 的操作，通过在局部参数化下计算 (\mathrm{df})_p 可知这个定义是合理的。
例题 1.13 在局部参数化下写出 (\mathrm{df})_{p} 的矩阵表示。
解 记 q = f(p)，取定 p, q 的两个局部参数化，分别记为 (\mathbb{X}^1, u, v), (\mathbb{X}^2, x, y)，不妨设 \mathbb{X}^1(0, 0) = p。令 g = (\mathbb{X}^2)^{-1} \circ f \circ \mathbb{X}^1，即 g(u, v) = (x(u, v), y(u, v))。设
\alpha (t) = \mathbb {X} ^ {1} (u (t), v (t)),\tag{微信签回}则
\beta (t) = f \circ \alpha (t) = \mathbb {X} ^ {2} (x (t), y (t)),\tag{超值}其中 (x(t),y(t)) = g(u(t),v(t))。直接计算得
w = u ^ {\prime} (0) \mathbb {X} _ {u} ^ {1} + v ^ {\prime} (0) \mathbb {X} _ {v} ^ {1},\beta^ {\prime} (0) = (u ^ {\prime} (0) x _ {u} + v ^ {\prime} (0) x _ {v}) \mathbb {X} _ {x} ^ {2} + (u ^ {\prime} (0) y _ {u} + v ^ {\prime} (0) y _ {v}) \mathbb {X} _ {y} ^ {2},所以 (\mathrm{df})_p 在这两个参数化的典范基下可表为
(\mathrm{d} f) _ {p} (\mathbb {X} _ {u} ^ {1}, \mathbb {X} _ {v} ^ {1}) = (\mathbb {X} _ {x} ^ {2}, \mathbb {X} _ {y} ^ {2}) \left( \begin{array}{c c} x _ {u} (0, 0) & x _ {v} (0, 0) \\ y _ {u} (0, 0) & y _ {v} (0, 0) \end{array} \right).\tag{1.3}注 这样的说法多少有点循环论证，因为我们是在承认定义合理的前提下推导出 (\mathrm{df})_p 在局部参数化典范基下的矩阵表示。但实际上，也可以先用 (1.3) 式定义映射的切映射，说明这样的定义和局部参数化无关，然后证明其几何意义即为定义 1.16 中给出的那样。
将上述讨论运用到 Gauss 映射上，得到一个线性映射 (\mathrm{d}n)_{p}: T_{p}S \rightarrow T_{n(p)}\mathbb{S}^{2}。因为 T_{n(p)}\mathbb{S}^{2} = T_{p}S，所以 (\mathrm{d}n)_{p}: T_{p}S \rightarrow T_{p}S 实为切空间到自身的一个线性变换。
根据定义，可通过下面三个步骤得到 (\mathrm{dn})_{p}(w)。
步骤一：取 \alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow S 满足 \alpha(0)=p,\alpha'(0)=w;
步骤二：令 n(s)=n\circ\alpha(s)，即单位法向量场 n 在 \alpha(s) 上的限制；
步骤三：得 (\mathrm{d}n)_{p}(w)=n'(0)。
命题 1.3 (\mathrm{d}n)_{p}: T_{p}S \rightarrow T_{p}S 是自伴线性映射，即
(\mathrm{d} n) _ {p} (w _ {1}) \cdot w _ {2} = w _ {1} \cdot (\mathrm{d} n) _ {p} (w _ {2}), \quad \forall w _ {1}, w _ {2} \in T _ {p} S.\tag{1.4}该映射称为曲面 S 在 p 点的 Weingarten 映射。
证明 对于给定的局部参数化 \mathbb{X}，可设单位法向量场为 n(u, v)。于是，根据定义有
(\mathrm{d} n) _ {p} (\mathbb {X} _ {u}) = n _ {u}, \qquad (\mathrm{d} n) _ {p} (\mathbb {X} _ {v}) = n _ {v}.由 (1.4) 式的线性性质，我们只需要在参数化的典范基下验证 (1.4) 式即可，即
(\mathrm{d} n) _ {p} (\mathbb {X} _ {u}) \cdot \mathbb {X} _ {v} = \mathbb {X} _ {u} \cdot (\mathrm{d} n) _ {p} (\mathbb {X} _ {v}).因为 \mathbb{X}_u\perp n，所以 \mathbb{X}_u\cdot n = 0. 两边关于 v 求偏导，得
\mathbb {X} _ {u v} \cdot n + \mathbb {X} _ {u} \cdot n _ {v} = 0.同理可得
\mathbb {X} _ {u v} \cdot n + \mathbb {X} _ {v} \cdot n _ {u} = 0.所以
\mathbb {X} _ {u} \cdot (\mathrm{d} n) _ {p} (\mathbb {X} _ {v}) = \mathbb {X} _ {u} \cdot n _ {v} = - \mathbb {X} _ {u v} \cdot n = \mathbb {X} _ {v} \cdot n _ {u} = (\mathrm{d} n) _ {p} (\mathbb {X} _ {u}) \cdot \mathbb {X} _ {v}.1.4 第二基本形式之代数
定义 1.18（第二基本形式） 与 (\mathrm{dn})_{p} 相伴的二次型称为曲面 S 在 p 点的第二基本形式，也就是
\amalg_ {p}: T _ {p} S \to \mathbb {R}w \mapsto \amalg_ {p} (w) = - (\mathrm{d} n) _ {p} (w) \cdot w.对于自伴线性变换，存在一组正交基，使得该变换在这组基下对应的矩阵是对角矩阵。将此结论应用到 (\mathrm{dn})_p 上，有
定义 1.19（主曲率、主方向） 在 T_{p}S 存在一组正交基 \{e_{1}, e_{2}\}，使得 (\mathrm{d}n)_{p}(e_{i}) = -\kappa_{i}e_{i}, i = 1, 2。称 \kappa_{i} 为主曲率，e_{i} 为对应的主方向。
定义 1.20（平均曲率、Gauss 曲率） 称 K(p)=\det((dn)_{p})=\kappa_{1}\cdot\kappa_{2} 为 S 在 p 点的 Gauss 曲率，称 H=-\frac{1}{2}\operatorname{tr}((dn)_{p})=\frac{1}{2}(\kappa_{1}+\kappa_{2}) 为 S 在 p 点的平均曲率。
例题 1.14（Euler 公式） 设 \{e_{1}, e_{2}\} 为 T_{p}S 一组对应于主方向的正交基，则对于单位切向量 v \in T_{p}S，可将其表为 v = e_{1} \cos \theta + e_{2} \sin \theta，于是就有
\mathrm{II} _ {p} (v) = - (\mathrm{d} n) _ {p} (v) \cdot v = \kappa_ {1} \cos^ {2} \theta + \kappa_ {2} \sin^ {2} \theta .这一公式的推论是主曲率分别是第二基本形式在单位切向量上取的最大值和最小值。
例题 1.15（局部参数化典范基下的第二基本形式） 令
e = \mathbb {X} _ {u u} \cdot n, f = \mathbb {X} _ {u v} \cdot n, g = \mathbb {X} _ {v v} \cdot n.取 w = x\mathbb{X}_u + y\mathbb{X}_v\in T_pS，则
\Pi_ {p} (w) = e x ^ {2} + 2 f x y + g y ^ {2}.解 注意到 n \cdot \mathbb{X}_u \equiv 0，所以有
n _ {u} \cdot \mathbb {X} _ {u} + n \cdot \mathbb {X} _ {u u} = 0.类似地，还有
n _ {u} \cdot \mathbb {X} _ {v} + n \cdot \mathbb {X} _ {u v} = 0, \quad n _ {v} \cdot \mathbb {X} _ {u} + n \cdot \mathbb {X} _ {u v} = 0.因此，根据定义有
\begin{array}{r l} & {{\Pi_ {p} (w) = - (\mathrm{d} n) _ {R} (w) \cdot w = - (x n _ {u} + y n _ {v}) \cdot (x \mathbb {X} _ {u} + y \mathbb {X} _ {v})}} \\ & {\qquad = (x, y) \left( \begin{array}{l l} {{e}} & {{f}} \\ {{f}} & {{g}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} {{x}} \\ {{y}} \end{array} \right) = e x ^ {2} + 2 f x y + g y ^ {2}.} \end{array}注 我们称 e(u,v)，f(u,v)，g(u,v) 为第二基本形式在局部参数化下的系数。
定义 1.21（点的命名）
(1) 如果 K(p) > 0, p 被称为椭圆点，这时两个主曲率同号；
(2) 如果 K(p) < 0, p 被称为双曲点，这时两个主曲率异号；
(3) 如果 K(p) = 0, H(p) \neq 0, p 被称为抛物点；
(4) 如果 \kappa_{1}(p) = \kappa_{2}(p) = 0, p 被称为平坦点；
(5) 如果 \kappa_{1}(p) = \kappa_{2}(p)，p 被称为全脐点。
例题 1.16 如果一个曲面 S 上所有点都是全脐点，S 必为球面或者平面的一部分。证明 在一个局部参数化下，假定 \kappa_{1} = \kappa_{2} = -\lambda(u, v)。根据题设，有
(\mathrm{d} n) _ {p} \binom{\mathbb {X} _ {u}}{\mathbb {X} _ {v}} = \left( \begin{array}{c c} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{array} \right) \binom{\mathbb {X} _ {u}}{\mathbb {X} _ {v}} = \binom{n _ {u}}{n _ {v}},即
n _ {u} = \lambda (u, v) \mathbb {X} _ {u},\tag{1.5}n _ {v} = \lambda (u, v) \mathbb {X} _ {v}.\tag{1.6}断言 \lambda \equiv 常数。
\frac {\partial}{\partial v} (1. 5) \Rightarrow n _ {u v} = \lambda_ {v} \mathbb {X} _ {u} + \lambda \mathbb {X} _ {u v},\frac {\partial}{\partial u} (1. 6) \Rightarrow n _ {v u} = \lambda_ {u} \mathbb {X} _ {v} + \lambda \mathbb {X} _ {v u}.由此得 \lambda_v\mathbb{X}_u = \lambda_u\mathbb{X}_v。因为 \mathbb{X}_u,\mathbb{X}_v 线性无关，所以 \lambda_{u} = \lambda_{v} = 0, 即 \lambda \equiv 常数
于是 (1.5) 和 (1.6) 式简化为 n_u = \lambda \mathbb{X}_u, n_v = \lambda \mathbb{X}_v，所以 n - \lambda \mathbb{X} = 常向量 = n_0。
下面分两种情况讨论：
(1) \lambda = 0 \Rightarrow n = n_0，所以 S 在一个以 n_0 为法向量的平面内；
(2) \lambda \neq 0，记 n = \lambda \mathbb{X} + n_0 \Rightarrow |\lambda \mathbb{X} + n_0| = 1，所以 S 落在以 -\frac{n_0}{\lambda} 为心、以 \left|\frac{1}{\lambda}\right| 为半径的球面上。
关于全脐点，有一个著名的 Carathéodory 猜想：设 S \subset \mathbb{R}^3 为一闭凸曲面（S 总是完整地落在任一切平面的一侧），则 S 至少有两个全脐点。感兴趣的读者可以参阅文献 [7] 及其中的引文。
1.5 第二基本形式之几何
定义 1.22（法曲率） 设 \alpha 是以弧长为参数的可定向曲面 S 上的曲线，设 \alpha(0)=p，该曲线在 p 点处的法曲率（记为 k_{n}）定义为
k _ {n} = \alpha^ {\prime \prime} (0) \cdot n (p).
法曲率和第二基本形式的关系如下：
命题 1.4
\amalg_ {p} (\alpha^ {\prime} (0)) = k _ {n}.证明 我们将法向量场在 \alpha(s) 上限制简记为 n(s)。根据切映射的定义知
(\mathrm{d} n) _ {p} (\alpha^ {\prime} (0)) = n ^ {\prime} (0),所以
\Pi_ {p} (\alpha^ {\prime} (0)) = - (\mathrm{d} n) _ {p} (\alpha^ {\prime} (0)) \cdot \alpha^ {\prime} (0) = - n ^ {\prime} (0) \cdot \alpha^ {\prime} (0) = n (0) \cdot \alpha^ {\prime \prime} (0).最后一个等号成立是由于 \alpha'(s) \cdot n(s) \equiv 0.
根据上述命题，为了计算 \Pi_p(v)，我们可以在 S 上找一条以弧长为参数的曲线 \alpha 经过 p，且 \alpha'(0) = v。显然有一种非常自然的选择：
定义 1.23（法截线） 由 n(p) 和 \pmb{v} 张成的平面和 S 所截得的曲线称为曲面在 p 点处沿 \pmb{v} 的法截线。
由于法截线是一条平面曲线，所以它的法曲率就是 \pm\kappa。我们可以用法截线对一些曲面的曲率做一些“肉眼观测”.
例题 1.17 单位球面（取外法向）：\Pi_{p}(v) = -v, \forall v \in T_{p}S^{2}(1).
例题 1.18 单位柱面（取外法向）：\Pi_{p}(v_{1}) = -1，\Pi_{p}(v_{2}) = 0。
例题 1.19 马鞍面：K(p) < 0，这个例子没有精确的主曲率读数，但是可以推断出在 p 点两个主曲率异号。
1.6 曲率之局部坐标计算
上两节我们从理论上分析了 (\mathrm{dn})_p，但通常情况下，找到主方向本身就是一件困难的事。由于平均曲率和Gauss曲率是 (\mathrm{dn})_p 的迹和行列式，所以从计算角度，我们只需在局部参数化的典范基下把 (\mathrm{dn})_p 表示出来，就能计算平均曲率和Gauss曲率。回忆第一、第二基本形式在局部参数化典范基的系数：
E = \mathbb {X} _ {u} \cdot \mathbb {X} _ {u}, F = \mathbb {X} _ {u} \cdot \mathbb {X} _ {v}, G = \mathbb {X} _ {v} \cdot \mathbb {X} _ {v}, \tag{01.1}e = \mathbb {X} _ {u u} \cdot n, f = \mathbb {X} _ {u v} \cdot n, g = \mathbb {X} _ {v v} \cdot n.设
(\mathrm{d} n) _ {p} \binom{\mathbb {X} _ {u}}{\mathbb {X} _ {v}} = \left( \begin{array}{c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} \end{array} \right) \binom{\mathbb {X} _ {u}}{\mathbb {X} _ {v}} = \binom{n _ {u}}{n _ {v}}由于
\binom{\mathbb {X} _ {u}}{\mathbb {X} _ {v}} \left( \begin{array}{c c} \mathbb {X} _ {u} & \mathbb {X} _ {v} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} E & F \\ F & G \end{array} \right), \quad \binom{n _ {u}}{n _ {v}} \left( \begin{array}{c c} \mathbb {X} _ {u} & \mathbb {X} _ {v} \end{array} \right) = - \left( \begin{array}{c c} e & f \\ f & g \end{array} \right),所以有
\left( \begin{array}{c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} \end{array} \right) = - \left( \begin{array}{c c} e & f \\ f & g \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} E & F \\ F & G \end{array} \right) ^ {- 1}\tag{1.7}命题 1.5 可定向正则光滑曲面 S 在局部参数化下的Gauss曲率和平均曲率分别为
K = \frac {e g - f ^ {2}}{E G - F ^ {2}}, H = \frac {1}{2} \frac {e G - 2 f F + g E}{E G - F ^ {2}}.\tag{1.8}例题 1.20（作为函数图像的曲率） 设 S 为光滑函数 z = f(x, y) 的图像，取朝上的单位法向量场，试计算其平均曲率和 Gauss 曲率。
解 很显然，有一个整体参数化
\mathbb {X} (u, v) = (u, v, f (u, v)), \quad (u, v) \in \mathbb {R} ^ {2},这样
\mathbb {X} _ {u} = (1, 0, f _ {u}), \quad \mathbb {X} _ {v} = (0, 1, f _ {v}),\tag{1.12}于是
E = 1 + f _ {u} ^ {2}, \quad F = f _ {u} f _ {v}, \quad G = 1 + f _ {v} ^ {2}.朝上的单位法向量为
n = \frac {(- f _ {u} , - f _ {v} , 1)}{\sqrt {1 + f _ {u} ^ {2} + f _ {v} ^ {2}}},所以
e = \frac {f _ {u u}}{\sqrt {1 + f _ {u} ^ {2} + f _ {v} ^ {2}}}, \quad f = \frac {f _ {u v}}{\sqrt {1 + f _ {u} ^ {2} + f _ {v} ^ {2}}}, \quad g = \frac {f _ {v v}}{\sqrt {1 + f _ {u} ^ {2} + f _ {v} ^ {2}}}.将上述计算所得代入 (1.8) 式并化简，有
(1)
H = \frac {1}{2} \frac {f _ {u v} (1 + f _ {v} ^ {2}) - 2 f _ {u v} f _ {u} f _ {v} + f _ {v v} (1 + f _ {u} ^ {2})}{(1 + | \nabla f | ^ {2}) ^ {\frac {3}{2}}}\tag{2}= \frac {1}{2} \operatorname{div} \left(\frac {\nabla f}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}\right),\tag{1.9}K = \frac {f _ {u u} f _ {v v} - f _ {u v} ^ {2}}{(1 + | \nabla f | ^ {2}) ^ {2}} = \frac {\det (\operatorname{Hess} (f))}{(1 + | \nabla f | ^ {2}) ^ {2}}.\tag{1.10}我们给出上述计算中一个非常重要的观察：如果 \nabla f|_{(0,0)} = 0，那么在 (0,0) 处有
E = 1, F = 0, G = 1, \quad \text {并且} \quad e = f _ {u u}, f = f _ {u v}, g = f _ {v v}.所以 (\mathrm{d}n)_{(0,0)} 相应于典范基的矩阵表示就是
- \left( \begin{array}{c c} e & f \\ f & g \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} E & F \\ F & G \end{array} \right) ^ {- 1} = - \left( \begin{array}{c c} f _ {u u} & f _ {u v} \\ f _ {v u} & f _ {v v} \end{array} \right) = - \operatorname{Hess} (f).对于 \forall p \in S，总可以在 p 点附近将 S 表为 T_pS 上某函数 f 的图像，且 p 恰为原点，\nabla f(p) = 0。所以曲面 S 在 p 处的曲率信息蕴涵于 f 在该点的 Hessian 矩阵中。这样就有如下推断：
(1) \operatorname{Hess}(f)(p) 正定或负定 \Leftrightarrow K(p) > 0 \Rightarrow S 在 p 点附近落在 T_pS 一侧。我们称 S 在 p 点处局部凸。
(2) \operatorname{Hess}(f)(p) 非退化，且不定 \Leftrightarrow K(p) < 0 \Rightarrow S 在 p 点附近总是分居 T_pS 的两侧（形如马鞍面）。
(3) \operatorname{Hess}(f)(p) 退化 \Leftrightarrow K(p) = 0。
注 K(p) = 0 时，曲面在 p 点和其切平面的位置关系并不明确（见习题47）。
例题 1.21（比较原理） 设 f, g 为定义在 R^{2} 原点邻域 U 上的两个光滑函数，满足：
(1) f(x) \geqslant g(x) \geqslant 0, \forall x \in U;
(2) f(0)=g(0)=0,
则 f 和 g 图像对应曲面的 Gauss 曲率在原点处满足 K_{f}(0) \geqslant K_{g}(0) \geqslant 0。
解 由于 f, g 均在0处取到局部极小值，有 \nabla f(0) = \nabla g(0) = 0。另外由于 f - g 也在0处取到局部极小值，有 \operatorname{Hess}(f)(0) \geqslant \operatorname{Hess}(g)(0)。根据 (1.10) 式立知
K _ {f} (0) = \det (\operatorname{Hess} (f) (0)) \geqslant \det (\operatorname{Hess} (g) (0)) = K _ {g} (0).该比较原理的一个推论是（见习题 48）：
推论 1.2 若 S \subset \mathbb{R}^3 为一有界闭曲面，则 S 一定存在椭圆点。
若 S 为 \mathbb{R}^2 上光滑函数图像对应的正则光滑曲面，(1.9) 和 (1.10) 式分别给出其平均曲率和 Gauss 曲率，简化成右端的形式正对应了两个非常重要的几何偏微分方程：极小曲面方程以及 Monge-Ampère 方程。这里我们介绍 Bernstein 关于这两类方程的两个 Liouville 型定理。
定理 1.3 (Bernstein) 如果定义在 R^{2} 上的光滑函数 z = f(x, y) 图像的平均曲率恒为零，即 f 满足
\operatorname{div} \left(\frac {\nabla f}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}\right) = 0,\tag{1.11}那么
f (x, y) = a x + b y + c.
注 平均曲率恒为零的曲面称为极小曲面。
定理 1.4 (Bernstein) 如果定义在 R^{2} 上的函数 z = f(x, y) 图像的 Gauss 曲率处处小于零，则 f 必为无界函数。
我们仅给出定理 1.3 的证明，该证明依赖 Jörgens 的一个定理。定理 1.4 的证明参见 [17] 中的定理 10.31.
定理 1.5 (Jörgens) 设 E: R^{2} \rightarrow R 为一光滑凸函数，满足
\det (\operatorname{Hess} (E)) = E _ {x x} E _ {y y} - E _ {x y} ^ {2} = 1,\tag{1.12}则 E 一定是一个二次多项式。
证明 考虑映射 T(x,y) = (x + E_x,y + E_y)。根据 E 的凸性，我们可以证明 T 是一个距离不减的映射，进而 T 既单又满。令 x + E_x = \xi, y + E_y = \eta，T 在 \mathbb{R}^2 上的反函数记为 T^{-1}(\xi, \eta) = (x, y)。设
F (\xi , \eta) = x - \mathrm{i} y - (E _ {x} - \mathrm{i} E _ {y}),F 是复变量 \zeta = \xi +\mathrm{i}\eta 的函数，容易验证 F 是一个全纯函数。另外，直接计算就可以验证
| F ^ {\prime} (\zeta) | \leqslant C.所以根据 Liouville 定理，F'(\zeta) 是常值函数，进而得 E 为二次多项式。
定理 1.3的证明 因为 f 满足 (1.11) 式，直接计算可得
\frac {\partial}{\partial x} \left(\frac {1 + f _ {y} ^ {2}}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}\right) = \frac {\partial}{\partial y} \left(\frac {f _ {x} f _ {y}}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}\right),以及
\frac {\partial}{\partial y} \left(\frac {1 + f _ {x} ^ {2}}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}\right) = \frac {\partial}{\partial x} \left(\frac {f _ {x} f _ {y}}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}\right).这样就存在光滑函数 \varphi, \psi, 使得
\frac {\partial \varphi}{\partial x} = \frac {f _ {x} f _ {y}}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}, \quad \frac {\partial \varphi}{\partial y} = \frac {1 + f _ {y} ^ {2}}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}},以及
\frac {\partial \psi}{\partial x} = \frac {1 + f _ {x} ^ {2}}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}, \quad \frac {\partial \psi}{\partial y} = \frac {f _ {x} f _ {y}}{\sqrt {1 + | \nabla f | ^ {2}}}.如此知存在函数 E 使得 \frac{\partial E}{\partial x} = \psi 及 \frac{\partial E}{\partial y} = \varphi。注意到 E 满足 (1.12) 式，所以根据 Jörgens 定理，我们推断 f_x = 常数以及 f_y = 常数，定理得证。
例题 1.22（旋转面的曲率计算） 设 \gamma(s) = (\varphi(s), \psi(s)) 为 y - z 平面第一象限内一条以弧长为参数的曲线，将其绕 z 轴旋转一圈得到的旋转面记为 S，取朝外的法向量。则有
K = - \frac {\varphi^ {\prime \prime} (s)}{\varphi (s)}, H = \frac {1}{2} \frac {(- \psi^ {\prime} \varphi^ {\prime \prime} + \varphi^ {\prime} \psi^ {\prime \prime}) \varphi^ {2} + \psi^ {\prime} \varphi}{\varphi^ {2}}.解 对 S 有如下参数化：
\mathbb {X} (s, \theta) = (\varphi (s) \cos \theta , \varphi (s) \sin \theta , \psi (s)),所以
\mathbb {X} _ {s} = (\varphi^ {\prime} \cos \theta , \varphi^ {\prime} \sin \theta , \psi^ {\prime}), \quad \mathbb {X} _ {\theta} = (- \varphi \sin \theta , \varphi \cos \theta , 0).进一步，有
E = 1 (s \text {为弧长参数}), \quad F = 0, \quad G = \varphi^ {2}.为了计算第二基本形式的系数，朝外的法向量为
n (s, \theta) = (- \psi^ {\prime} \cos \theta , - \psi^ {\prime} \sin \theta , \varphi^ {\prime}).另有
\mathbb {X} _ {s s} = (\varphi^ {\prime \prime} \cos \theta , \varphi^ {\prime \prime} \sin \theta , \psi^ {\prime \prime}), \quad \mathbb {X} _ {s \theta} = (- \varphi^ {\prime} \sin \theta , \varphi^ {\prime} \cos \theta , 0),\mathbb {X} _ {\theta \theta} = (- \varphi \cos \theta , - \varphi \sin \theta , 0),所以
e = - \psi^ {\prime} \varphi^ {\prime \prime} + \varphi^ {\prime} \psi^ {\prime \prime}, f = 0, g = \psi^ {\prime} \varphi .最后得到
K = \frac {(- \psi^ {\prime} \varphi^ {\prime \prime} + \varphi^ {\prime} \psi^ {\prime \prime}) \psi^ {\prime} \varphi}{\varphi^ {2}} = - \frac {\varphi^ {\prime \prime}}{\varphi}, H = \frac {1}{2} \frac {(- \psi^ {\prime} \varphi^ {\prime \prime} + \varphi^ {\prime} \psi^ {\prime \prime}) \varphi^ {2} + \psi^ {\prime} \varphi}{\varphi^ {2}}.注意在上式的化简中利用了
\varphi^ {\prime 2} + \psi^ {\prime 2} \equiv 1 \Rightarrow \varphi^ {\prime} \varphi^ {\prime \prime} + \psi^ {\prime} \psi^ {\prime \prime} = 0.1.7 Gauss 映射像的面积
定理 1.6 设 \Omega \subset S 为正则光滑曲面 S 上一区域，满足：
(1) K(p) 在 \Omega 上不变号；
(2) Gauss 映射 n 在 \Omega 上的限制是单射，
\operatorname{Area} (n (\Omega)) = \int_ {\Omega} | K | \mathrm{d} \sigma .证明 首先回忆曲面积分的定义：f \in C(S)，设 R \subset S 落在一个局部参数化 \mathbb{X} 内，则有
\int_ {R} f \mathrm{d} \sigma := \iint_ {\mathbb {X} ^ {- 1} (R)} f \cdot \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} u \mathrm{d} v.根据积分关于区域的可加性，不妨假设 \Omega 落在一个局部参数化 \mathbb{X} 内。
断言 n \circ \mathbb{X} = n(u, v) 恰构成 n(\Omega) 的一个局部参数化。
事实上，n 是单射保证了 n \circ \mathbb{X} 也是单射。若设
n _ {u} = (\mathrm{d} n) _ {p} (\mathbb {X} _ {u}) = a \mathbb {X} _ {u} + b \mathbb {X} _ {v},n _ {v} = (\mathrm{d} n) _ {p} (\mathbb {X} _ {v}) = c \mathbb {X} _ {u} + d \mathbb {X} _ {v},则
n _ {u} \wedge n _ {v} = (a d - b c) \mathbb {X} _ {u} \wedge \mathbb {X} _ {v} = K (\mathbb {X} _ {u} \wedge \mathbb {X} _ {v}).由于 K \neq 0，所以 n_{n} 和 n_{v} 线性无关。
由此根据面积的定义知
\operatorname{Area} (n (\Omega)) = \iint_ {\mathbb {X} ^ {- 1} (\Omega)} | n _ {u} \wedge n _ {v} | \mathrm{d} u \mathrm{d} v = \iint_ {\mathbb {X} ^ {- 1} (\Omega)} | K | | \mathbb {X} _ {u} \wedge \mathbb {X} _ {v} | \mathrm{d} u \mathrm{d} v = \int_ {\Omega} | K | \mathrm{d} \sigma .注 在上述定理中，如果去掉 n|_{\Omega} 为单射的条件，则有
\mathrm{Area} (n (\Omega)) \leqslant \int_ {\Omega} | K | \mathrm{d} \sigma .实际上，根据几何测度论的面积公式，有如下公式：
定理 1.7 设 S 为一封闭曲面，则
\int_ {S} | K | \mathrm{d} \sigma = \int_ {\mathbb {S} ^ {2}} \# \{n ^ {- 1} (y) \} \mathrm{d} y.\tag{1.13}定理 1.8 设 S 为一正则光滑闭曲面且 Gauss 曲率 K > 0，则
\int_ {S} K \mathrm{d} \sigma = 4 \pi .证明 根据定理 1.6，在题设条件下我们证明 Gauss 映射 n: S \to \mathbb{S}^2(1) 既单又满。先证满射，即要证 \forall v \in \mathbb{S}^2(1)，存在 \exists p \in S，使得 n(p) = v。为此取一个以 v 为法向量的平面 H，总可以假定 H 和 S 分离，且沿着 -v 方向平移 H 会和 S 相交。在 H 和 S 第一次相交的交点处，v 即为 S 在该点的外法向。
再证单射。由于 K(p) = \det (\mathrm{d}n)_p \neq 0，根据反函数定理，n: S \to \mathbb{S}^2(1) 是一个局部微分同胚，又由于 S 本身是一个紧集，所以 Gauss 映射其实是一个覆盖映射（见第二章习题31）。由于单位球面是单连通的，到单连通紧集的覆盖映射就成为一个全局的微分同胚，自然是单射。
如果曲面 S 总是完整地落在任一切平面 T_{p}S 的一侧，就称其为凸曲面，可以利用上述定理的证明得到下述定理，该定理最早由 Hadamard 证明。
定理 1.9 (Hadamard) 若闭曲面 S 处处Gauss曲率为正，则 S 必是一个凸曲面。
上述定理在 Gauss 曲率非负的情形也成立，但证明更为困难，由陈省身和 Lashof 于 1958 年给出 ^{[4]}。
定理 1.10 (Chern-Lashof) 设闭曲面 S 具有非负 Gauss 曲率 K \geqslant 0，则 S 必是一个凸曲面。
1.8 Fenchel, Fary-Milnor 定理
作为曲线和曲面局部理论的一个综合应用，本节我们介绍 Fenchel 定理以及 Fary-Milnor 定理. Fary-Milnor 定理有很多种证法，感兴趣的读者可参考 A. Petrunin 和 S. Stadler 写的文章 ^{[18]}。
\int_ {\alpha} \kappa (s) \mathrm{d} s \geqslant 2 \pi ,等号成立当且仅当 \alpha 是一条平面凸曲线。
定理 1.12 (Fary, Milnor)
若 \alpha 是 \mathbb{R}^3 中一条打结的简单光滑闭曲线，那么
\int_ {\alpha} \kappa (s) \mathrm{d} s > 4 \pi .证明 我们统一处理 Fenchel 定理和 Fary-Milnor 定理的证明。证明的思路一言以蔽之就是“考虑 \alpha 的管状邻域”. 我们假定 \kappa(s) \neq 0, \forall s, \kappa(s) 有零的情况可以通过逼近解决，细节留给读者。
先证 Fenchel 定理。设 \{T(s), N(s), B(s)\} 为 \alpha 的 Frenet 标架，\kappa, \tau 分别是曲率和挠率，\alpha 的一个半径为 r 的管状邻域即是如下参数曲面的闭包：
\mathbb {X} (s, \theta) = \alpha (s) + r (\cos \theta N (s) + \sin \theta B (s)), \quad s \in [ 0, l ], \theta \in (0, 2 \pi).
易知，当 r << 1，S 为正则光滑闭曲面。记曲面的外法向为 n，易知 n = \cos \theta N(s) + \cos \theta B(s)。我们注意到可以按下述公式计算 Gauss 曲率：
n _ {s} \wedge n _ {\theta} = K \mathbb {X} _ {s} \wedge \mathbb {X} _ {\theta},\left\{\frac {\pi \varepsilon}{5} > \theta > \frac {\pi}{5} \right.则有
\mathbb {X} _ {s} = T (s) + r (\cos \theta (- \kappa T (s) - \tau B (s)) + \sin \theta \tau N (s)),\mathbb {X} _ {\theta} = r (- \sin \theta N (s) + \cos \theta B (s));n _ {s} = \cos \theta (- \kappa T (s) - \tau B (s)) + \sin \theta (\tau N (s)),n _ {\theta} = - \sin \theta N (s) + \cos \theta B (s).由此得
K = \frac {- \kappa \cos \theta}{r (1 - r \kappa \cos \theta)}.记 \Omega_{+} = \{p\in S|K(p) > 0\}，其对应于 \theta \in (\pi /2,3\pi /2)，有
\begin{array}{r l} \int_ {\Omega_ {+}} K \mathrm{d} \sigma & = \int_ {0} ^ {l} \int_ {\pi / 2} ^ {3 \pi / 2} \frac {- \kappa (s) \cos \theta}{r (1 - r \kappa \cos \theta)} \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} s \mathrm{d} \theta \\ & = \int_ {0} ^ {l} \int_ {\pi / 2} ^ {3 \pi / 2} - \kappa (s) \cos \theta \mathrm{d} s \mathrm{d} \theta \\ & = 2 \int_ {0} ^ {l} \kappa (s) \mathrm{d} s. \end{array}而根据 Gauss 映射的几何意义，
\int_ {\Omega_ {+}} K \mathrm{d} \sigma \geqslant \operatorname{Area} (n (\Omega_ {+})).我们断言 n(\overline{\Omega_+}) = \mathbb{S}^2。实际上任取单位向量 v，取以 v 为法向的一平面 H。总可以假定该平面初始位置和 S 不相交，但是朝 S 移动该平面直到第一次相交，则任一交点 p 处的切平面即以 \pm v 为法向，并且有 K(p) \geqslant 0。由于 \theta = \pi / 2 和 \theta = 3\pi / 2 在 Gauss 映射下的像在 \mathbb{S}^2 中是一个零测集，所以
\operatorname{Area} (n (\Omega_ {+})) = \operatorname{Area} (\mathbb {S} ^ {2}) = 4 \pi ,由此Fenchel定理得证。
下面来追溯等号成立的情况。我们断言
\left\{n \left(s, \frac {\pi}{2}\right), n \left(s, \frac {3 \pi}{2}\right) \right\} = \{\pm p \}, \quad \forall s \in [ 0, l ].注意到 n(s, \theta) = \cos \theta N(s) + \sin \theta B(s)，所以 Gauss 映射把 \Omega_{+}(s) 映到一个大圆弧的一半 C(s) = \cos \theta N(s) + \sin \theta B(s), \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}。这族半大圆弧 \left\{\cos \theta N(s) + \sin \theta B(s), \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}\right\} 随着 s 连续变化。如果他们的端点并不固定，那么易知当 s_1, s_2 接近时，C(s_1) 必和 C(s_2) 相交。这意味着交点在 Gauss 映射下的原像个数大于等于 2，导致 \int_{\Omega_{+}} K \mathrm{d}\sigma > 4\pi。
所以 \pm B(s) = \pm p，也就是说 \alpha 是一条平面曲线。而随着 s 的变化，C(s) 正好以 \pm p 的连线为轴“包裹”\mathbb{S}^2(1) 一圈。这说明 \alpha 必是凸曲线。
下面证明 Fary-Milnor 定理。所谓闭曲线打结，就是其不能在三维中连续形变成一个简单的平面圆周。固定 v \in \mathbb{S}^2 \setminus \{\pm B(s)\}_{s \in [0, l]}，考虑曲线关于 v 的高度函数：h_v(s) := \alpha(s) \cdot v。我们断言 h_v(s) 的临界点必为局部极小或极大。设 s_0 为一临界点，则有 0 = h_v'(s_0) = T(s_0) \cdot v。所以 v \in \operatorname{span}\{N(s_0), B(s_0)\}。从而 h_v''(s_0) = \kappa(s_0) N(s_0) \cdot v \neq 0。
一个重要的观察是：如果存在 v \in S^{2} 使得 h_{v} 恰有两个临界点，则 \alpha 必不是纽结。
所以现在我们可以假定 \forall v \in \mathbb{S}^2 \setminus \{\pm B(s)\}_{s \in [0, l]}，h_v 有超过两个临界点，但是因为封闭曲线上临界点肯定成对出现，所以存在至少两个局部极小点 \alpha(s_1), \alpha(s_2) 以及两个局部极大点 \alpha(s_3), \alpha(s_4)。这样在
p _ {1} = \alpha (s _ {1}) - r v, \quad p _ {2} = \alpha (s _ {2}) - r v这两个点处，管状邻域的外法向量为 -v；而在
p _ {3} = \alpha (s _ {3}) + r v, \quad p _ {4} = \alpha (s _ {4}) + r v这两个点处，管状邻域的外法向量为 v。这样一来 \mathbb{S}^2 \setminus \{\pm B(s)\}_{s \in [0, l]} 中的每个点，其 Gauss 映射原像至少有两个，所以根据 (1.13) 式，有
\int_ {\Omega_ {+}} K \mathrm{d} \sigma \geqslant 8 \pi .根据上述追溯等号的讨论，在纽结情况下等号是无法取到的。一个有趣的练习是构造纽结使得其全曲率任意接近 4\pi。
第一章练习
1. 证明：平面上两点之间直线段最短。
2. （滚轮线和最速降线）单位圆周沿着 x 轴滚动，其上一点的轨迹称为滚轮线，以下图所示的 t 做参数，给出滚轮线的参数化，该曲线在一个周期内曲率最大的点的存在吗？试搜索滚轮线和最速降线之间的关系。
3. （拽物线）一单位长度连杆水平放置在 x 轴上，一端在原点，该端沿着 y 轴朝上运动，另一端的轨迹曲线称为拽物线（见下图），试给出拽物线的一个参数化。
4. 设 \alpha(t) 是一正则参数空间曲线，t 不一定是弧长参数。记 \frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \alpha' 以及 \frac{\mathrm{d}^2\alpha}{\mathrm{d}t^2} = \alpha''，证明：\alpha 的曲率和挠率分别为
\kappa (t) = \frac {| \alpha^ {\prime} \wedge \alpha^ {\prime \prime} |}{| \alpha^ {\prime} | ^ {3}}, \quad \tau (t) = - \frac {(\alpha^ {\prime} \wedge \alpha^ {\prime \prime}) \cdot \alpha^ {\prime \prime \prime}}{| \alpha^ {\prime} \wedge \alpha^ {\prime \prime} | ^ {2}}.5. 设 \alpha : [a, b] \to \mathbb{R}^2 为一平面曲线，对于单位方向 u，\alpha_u = (\alpha \cdot u)u 为 \alpha 到 u 方向过原点直线的投影。证明：
\operatorname{length} (\alpha) = \frac {1}{4} \int_ {\mathbb {S} ^ {1}} \operatorname{length} (\alpha_ {u}) \mathrm{d} u.6. （Descartes 定理）平面上彼此相切的四个圆，证明：它们的曲率满足 (\kappa_{1} + \kappa_{2} + \kappa_{3} + \kappa_{4})^{2} = 2(\kappa_{1}^{2} + \kappa_{2}^{2} + \kappa_{3}^{2} + \kappa_{4}^{2})。
7. 计算下列曲线的曲率和挠率：
(1) x = \mathrm{e}^{t},y = \mathrm{e}^{-t},z = t\sqrt{2};
(2) x = \cos^3 t, y = \sin^3 t, z = \cos 2t.
8. （密切圆）设 \gamma(s) 为一条以弧长为参数的平面曲线，假设 \kappa(s) \neq 0，以 \gamma(s) + \frac{1}{\kappa s} n(s) 为圆心，\left|\frac{1}{\kappa(s)}\right| 为半径的圆周，称为 \gamma 在 s 处的密切圆。因为该圆不仅和曲线相切，而且在 s 处和曲线有相同的曲率。
设 \gamma(s) 是一条以弧长为参数的平面曲线，假设 \kappa(s_0) \neq 0。设 C(s_1, s_2, s_3) 为 \gamma(s_1), \gamma(s_2), \gamma(s_3) （不共线）的外接圆，其半径记为 r(s_1, s_2, s_3)。证明：当 s_1, s_2, s_3 \to s_0 时，C(s_1, s_2, s_3) 收敛于 \gamma 在 s_0 处的密切圆，并且
\lim _ {s _ {1} \rightarrow s _ {0}, s _ {2} \rightarrow s _ {0}, s _ {3} \rightarrow s _ {0}} r (s _ {1}, s _ {2}, s _ {3}) = \left| \frac {1}{\kappa (s _ {0})} \right|.9. （比较原理）
(1) 证明：函数图像 y = f(x) 的带符号曲率为（曲线的定向遵循 x 从小到大走向）
\kappa (x) = \frac {f ^ {\prime \prime} (x)}{(1 + f ^ {\prime} (x) ^ {2}) ^ {\frac {3}{2}}}.(2) 设 f, g: (-1, 1) \to \mathbb{R} 为两个光滑函数，满足
f (x) \geqslant g (x), \quad f (0) = g (0).
证明 两个图像在原点的带符号曲率满足
\kappa_ {f} (0) \geqslant \kappa_ {g} (0).10. 逆时针定向的平面简单闭曲线必有一点其带符号曲率为正。
11. 若 \gamma: I \to \mathbb{R}^2 为平面上简单光滑闭曲线，逆时针走向，s 为弧长参数，则存在一可微函数 \varphi(s)，使得单位切向量 \gamma'(s) = (\cos \varphi(s), \sin \varphi(s))。证明：带符号曲率 k = \varphi'(s)，由此说明 \int_{I} k(s) \mathrm{d}s = 2\pi。
12. 若 \Gamma = \bigcup_{i=1}^{k} \gamma_i 为平面上分段光滑简单闭曲线，逆时针走向，在分段处的外角记为 \alpha_i，根据上题证明 \int_{\gamma_i} k(s) \mathrm{d}s + \sum_{i=1}^{k} \alpha_i = 2\pi。
13. （内切圆）通过曲率计算说明曲线 y = \frac{1}{3} x^2 在 (0,0) 处的一个邻域里完全落在圆周 (y - 1)^2 + x^2 = 1 的外侧。是否可以找到半径更大的圆，使其在 (0,0) 处与 y = \frac{1}{3} x^2 相切，并且 y = \frac{1}{3} x^2 仍然在 (0,0) 的一个邻域内在该圆的外侧？
14. （平行曲线）设 \alpha(s), s \in [0, l] 为一平面闭凸曲线，且为逆时针走向。s 为弧长参数。取一个非常小的实数 r > 0，可以定义平行与 \alpha 的曲线为
\beta (s) = \alpha (s) - r n (s).
证明
(1) \beta 的长度为 \alpha + 2\pi r；
(2) 被 \beta 包围区域的面积为 \alpha + rl + \pi r^2；
(3) k_{\beta}(s) = k_{\alpha}(s) / (1 + rk_{\alpha}(s)).
15. 设 C 为一平面曲线，设 T 为在 p 处的切线。距 p 点法线为 d 的地方画一平行线 L, C 和 L 的交点距 T 的距离记为 h （见下图）。证明：
| k (p) | = \lim _ {d \to 0} \frac {2 h}{d ^ {2}}.
16. 曲率和挠率均不为零的曲线称为挠曲线，证明：如果该曲线落在一个球面上，其曲率和挠率满足
\left({\frac {1}{\kappa (s)}}\right) ^ {2} + \left[ {\frac {1}{\tau}} {\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}} \left({\frac {1}{\kappa (s)}}\right) \right] ^ {2} = \text {常数}.17. 若空间挠曲线满足
\left({\frac {1}{\kappa (s)}}\right) ^ {2} + \left[ {\frac {1}{\tau}} {\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s}} \left({\frac {1}{\kappa (s)}}\right) \right] ^ {2} = \text {常数},证明 该曲线或其曲率为常数，或该曲线是球面上的一条曲线。
18. 设 \alpha: [0, l] \to S^2 是单位球面上一条正则封闭曲线且 \kappa(s) \neq 0, \forall s \in [0, l]，证明：
\int_ {0} ^ {l} \tau (s) \mathrm{d} s = 0.19. (Wienholtz) 对于一条空间闭曲线 \gamma: S^1 \to \mathbb{R}^3，证明：一定存在依次的四个点 t_0, t_1, t_2, t_3，以及两个平行的平面 P_1, P_2，使得 \gamma 夹在两个平面之间且 \gamma(t_0), \gamma(t_2) \in P_1，\gamma(t_1), \gamma(t_3) \in P_2。
20. （Fenchel 定理的又一证法）通过以下步骤证明 Fenchel 定理：任一封闭的空间曲线 \alpha(s) （s \in I 为其弧长参数，\kappa(s) 为其曲率）的全曲率
\int_ {I} \kappa (s) \mathrm{d} s \geqslant 2 \pi .(1) 对于一条以弧长为参数的空间曲线 \alpha(s)，其切向量 t(s) 就是一条落在单位球面上的曲线，用 \kappa(s) 表示 \alpha(s) 的曲率，证明
\operatorname{length} (t (s)) = \int_ {[ a, b ]} \kappa (s) \mathrm{d} s.(2) 设 t(s) 为单位球面上长度严格小于 2\pi 的封闭曲线，证明 t(s) 一定整体含于某个开半球内。由此得到和 \alpha 是闭曲线矛盾。
21. (Stoker) 设 \alpha: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 是一条以弧长为参数的简单凸曲线（带符号曲率 \kappa(s) \geqslant 0），若 \lim_{s \to \pm \infty} |\alpha(s)| = \infty，证明：\int_{\mathbb{R}} \kappa(s) \, \mathrm{d}s \leqslant 2\pi。
22. 试分类曲率和挠率都为常数的正则光滑曲线。
23. （顶点）对于平面曲线，其带符号曲率的局部极值点称为曲线的顶点。证明：椭圆 x = a \cos t, y = b \sin t 正好有四个顶点。
注 著名的四顶点定理断言平面上任一简单闭曲线都至少有四个顶点。感兴趣的读者可参考 Robert Osserman 的文章 ^{[16]}。
24. 单位圆周上，弧长间距为 s 的两点间的弦长为 \lambda(s) = 2\sin\left(\frac{s}{2}\right)。现设 \alpha(s) 为一长度为 2\pi 的简单闭曲线，s 为弧长参数，证明：对于任意固定的 s，有
\int_ {[ 0, 2 \pi ]} | \alpha (s + t) - \alpha (t) | \mathrm{d} t \leqslant \lambda (s),且等号成立当且仅当 \alpha 是单位圆周。
25. 设 \alpha: [0, L] \to \mathbb{R}^2 是一条以弧长为参数的光滑正则简单闭曲线，证明：
d := \min _ {s \in \left[ 0, \frac {L}{2} \right]} \left| \alpha (s) - \alpha \left(s + \frac {L}{2}\right) \right| \leqslant \frac {L}{\pi}.26. （水中月）一条平面简单闭曲线，如果带符号曲率满足 |\kappa| \leqslant 1，那么它的内部一定可以容纳一个单位开圆盘。（关于此习题请读者参考 A. Petrunin, S. Zamora Barrera 的文章[19].）
27. 证明：例题 1.10 中的集合都是正则光滑曲面。
28. 对任意正则光滑曲面 S，给定 p \in S，证明：S 在 p 点附近总可以表成 T_p S 上一函数图像。
29. 若一正则光滑曲面 S 和平面 P 只交于 p 一点，证明：P = T_{p} S。
30. 设 h: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} 为一光滑映射，若 c 为一正则值，且 h^{-1}(c) 非空，证明：任一 h^{-1}(c) 的连通分支都是可定向曲面。
31. 证明：\mathbb{R}^3 中的任一正则光滑闭曲面都是可定向的。
32. 证明：参数曲面 x = u + \sin v, y = u + \cos v, z = u + a 是一个柱面。
33. 计算曲面 S: x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1 在 Gauss 映射下的像的面积。这里取朝外的法向量。
34. （Tchebyshef 网）曲面上一个局部参数化 \mathbb{X}(u, v)，如果满足任四条坐标曲线 u = u_i, v = v_i, i = 1, 2 围成的四边形对边相等，就称为一个 Tchebyshef 网，证明：一个参数化为 Tchebyshef 网的充要条件是
\frac {\partial E}{\partial v} = \frac {\partial G}{\partial u} = 0.35. 如果局部参数化 \mathbb{X} 是一个 Tchebyshef 网，证明：可以做一个坐标变换使得在新的坐标下，第一基本形式的系数为
E = G = 1, \quad F = \cos (\theta (u, v)).
这样 \theta(u,v) 就表示两条坐标曲线的夹角。
36. 证明：参数曲面 x = \frac{a(uv + 1)}{u + v}, y = \frac{b(u - v)}{u + v}, z = \frac{uv - 1}{u + v} 是单页双曲面，试分析此参数化下的坐标曲线有什么特殊性。
37. （猴鞍面）函数 f(x, y) = x^3 - 3xy^2 的图像称为猴鞍面，分析原点是什么类型的点。
38. 计算曲面 z = x^3 的 Gauss 曲率。
39. 计算将 xy 平面上的曲线 y = a\sin x, x \in (0, \pi) 绕 x 轴旋转一圈所得曲面的 Gauss 曲率。
40. 若将 xy 平面正的光滑函数 y = f(x), x \in (a, b) 的图像绕 x 轴旋转一圈所得的旋转面 Gauss 曲率恒为零，证明：f 必为线性函数。
41. （伪球面）设 \gamma(s) = (x(s), y(s)) 为 xy 平面第一象限内以弧长为参数的曲线，将其绕 x 轴旋转一圈所得曲面记为 S，如果 S 的 Gauss 曲率恒为 -1，试给出 \gamma(s) 的具体表达式。该曲面称为伪球面。
42. （Enneper 曲面）计算参数曲面 X(u, v) = \left(u - \frac{u^3}{3} + uv^2, v - \frac{v^3}{3} + vu^2, u^2 - v^2\right) 的平均曲率。
43. 计算螺旋面 X(u,v)=(a\sinh u\cos v,a\sinh u\sin v,av) 的平均曲率。
44. （直纹面）现有一族用 t 做参数的直线 \{\alpha(t), \omega(t)\}，对于固定的 t, \alpha(t) 表示直线上一点，\omega(t) 表示直线的方向，于是可以定义如下的参数曲面：
\mathbb {X} (t, v) = \alpha (t) + v \omega (t), \quad t, v \in \mathbb {R}.这称为直纹面，计算它的 Gauss 曲率。
45. 绕 z 轴旋转 y - z 平面中的圆周 (y - a)^2 + z^2 = r^2 一圈得到一个环面，计算 \int_{S} H^{2} \mathrm{d}\sigma 并找到使 \int_{S} H^{2} \mathrm{d}\sigma 达到最小值的那个环面。
46. （渐近线和曲率线）如果曲面上一条曲线 \alpha(t)，满足其切向量总是渐近（主曲率）方向，则称其为渐近线（曲率线）。在局部参数下，设曲线 \alpha(t) = \mathbb{X}(u(t), v(t))，证明：
(1) \alpha 是渐近线，当且仅当
e \left(u ^ {\prime}\right) ^ {2} + 2 f u ^ {\prime} v ^ {\prime} + g \left(v ^ {\prime}\right) ^ {2} = 0.(2) \alpha 是曲率线，当且仅当
(f E - e F) (u ^ {\prime}) ^ {2} + (g E - e G) u ^ {\prime} v ^ {\prime} + (g F - f G) (v ^ {\prime}) ^ {2} = 0.47. 一个曲面 S 在 p 点局部凸，是指曲面在 p 点附近完全落在 T_{p}S 的一侧。若曲面 S 在 p 点局部凸，证明：K(p) \geqslant 0。反之若 K(p) = 0，则并不能说明 S 在 p 是局部凸的，如图像 f(x,y) = x^{3}(1 + y^{2}) 的 Gauss 曲率在 (0,0) 处为零，但在 (0,0) 处不是局部凸的。
48. （曲面比较原理）证明：任一紧致无边正则光滑曲面一定存在椭圆点。
49. （平行曲面）设 \mathbb{X}(u, v) 是一个正则参数曲面，记 n(u, v) 为其上的一个单位法向量场，
\mathbb {Y} (u, v) = \mathbb {X} (u, v) + a n (u, v)被称为距离为 a 的平行曲面，证明：在 \mathbb{Y} 的正则点处，Gauss 曲率和平均曲率分别为
K = \frac {K _ {X}}{1 - 2 a H _ {X} + K _ {X} a ^ {2}}, H = \frac {H _ {X} - K _ {X} a}{1 - 2 a H _ {X} + K _ {X} a ^ {2}}.50. （梯度）设 f 为光滑曲面 S 上的光滑函数，f 在 p 点的梯度定义为一个切向量 \operatorname{grad}(f) \in T_p S，满足
\operatorname{grad} (f) \cdot v = v (f), \quad \forall v \in T _ {p} S.在局部参数化下，计第一基本形式的系数为 E, F, G，证明：
\operatorname{grad} (f) = \frac {f _ {u} G - f _ {v} F}{E G - F ^ {2}} \mathbb {X} _ {u} + \frac {f _ {v} E - f _ {u} F}{E G - F ^ {2}} \mathbb {X} _ {v}.51. (Hessian) 设 f 为光滑曲面 S 上的光滑函数，如果 \operatorname{grad}(f)(p) = 0，对于给定的 w \in T_p S，选取 \alpha: (-\varepsilon, \varepsilon) \to S，满足 \alpha(0) = p, \alpha'(0) = w，并定义
\operatorname{Hess} (f) _ {p} (w) = \left. \frac {\mathrm{d} ^ {2} f \circ \alpha}{\mathrm{d} t ^ {2}} \right| _ {t = 0}.(1) 证明：该定义和 \alpha 的选取无关，\operatorname{Hess}(f)_p 实际上给出了 T_pS 上的一个二次型。
(2) 如果 \operatorname{grad}(f)(p) = 0，称 p 为 f 的临界点。如果 \operatorname{Hess}(f)_p 是非退化的二次型，则称 p 为 f 的一个非退化临界点。对于给定的光滑曲面 S，可以考虑其关于某单位方向 v 的高度函数，h_v(p) := p \cdot v, p \in S。证明：p 是 h_v 的非退化临界点当且仅当 K(p) \neq 0。
52. 设 S \subset \mathbb{R}^3 为一正则光滑闭凸曲面，如果对任意 d > 0，S 被两间距为 d 的平行平面所截得表面积为 2\pi d，证明：S 同构于单位球面。
53. 补充证明 Fenchel 定理中 \kappa(x) 有零点的情况；试构造一个纽结其全区率任意接近 4\pi。
