微分几何第二章

我们用逻辑来证明，却凭直觉去发现。懂得批判固然重要，但学会创造更为可贵。
—H. Poincaré

1818 年至 1826 年间，Gauss 主持了汉诺威公国的大地测量工作。他在 1827 年发表了《关于曲面的一般研究》，该文成为古典微分几何的经典文献。文中包含了他称之为绝妙的定理，以及 Gauss-Bonnet 公式（测地三角版本）。那个时候的测地工作非常辛苦，需要长距离旅行，美妙的数学思想就在颠簸的马背上应运而生。曾有一版德国十马克的纸币就是纪念 Gauss 的，背面是他测地工作的生动写照：他发明的回光测量仪，以及测地工作实际采用的三角剖分路线图。

Gauss 绝妙定理在古典微分几何学的研究中具有里程碑意义，它开启了微分几何研究模式从外蕴走向内蕴的大门。本章就以 Gauss 绝妙定理开篇，发展曲面内蕴几何学。

2.1 Gauss 绝妙定理

本节我们介绍 Gauss 的绝妙发现，也许读者会觉得其证明过程平平无奇。

设 $S$ 为一正则光滑可定向曲面， $N$ 为其上一个选定的单位法向量场。设 $\mathbb{X}: U \to S$ 为一局部参数化，那么 $\{\mathbb{X}_u, \mathbb{X}_v, N\}$ 在每点构成了 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，像Frenet标架那样，对 $\mathbb{X}_u, \mathbb{X}_v, N$ 分别求偏导，并将所得分别表为 $\{\mathbb{X}_u, \mathbb{X}_v, N\}$ 的线性组合，可得

\left\{ \begin{array}{l} \mathbb {X} _ {u u} = \Gamma_ {1 1} ^ {1} \mathbb {X} _ {u} + \Gamma_ {1 1} ^ {2} \mathbb {X} _ {v} + e N, \\ \mathbb {X} _ {u v} = \Gamma_ {1 2} ^ {1} \mathbb {X} _ {u} + \Gamma_ {1 2} ^ {2} \mathbb {X} _ {v} + f N, \\ \mathbb {X} _ {v u} = \Gamma_ {2 1} ^ {1} \mathbb {X} _ {u} + \Gamma_ {2 1} ^ {2} \mathbb {X} _ {v} + f N, \\ \mathbb {X} _ {v v} = \Gamma_ {2 2} ^ {1} \mathbb {X} _ {u} + \Gamma_ {2 2} ^ {2} \mathbb {X} _ {v} + g N, \\ N _ {u} = a \mathbb {X} _ {u} + b \mathbb {X} _ {v}, \\ N _ {v} = c \mathbb {X} _ {u} + d \mathbb {X} _ {v}. \end{array} \right.\tag{2.1}

我们称上述六个方程为曲面基本结构方程。前四式的最后一个分量是通过分别和 $N$ 内积后得到的，即为第二基本形式的系数 $(e, f, g)$ 。剩下两类系数，对 $(a, b, c, d)$ ，回忆 (1.7) 式知

\left( \begin{array}{c c} a & b \\ c & d \end{array} \right) = - \left( \begin{array}{c c} e & f \\ f & g \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c c} E & F \\ F & G \end{array} \right) ^ {- 1}

另一类系数 $\Gamma_{ij}^{k}, i, j, k = 1,2,$ 被称为Christoffel符号，可以按如下方式计算：方程组(2.1）的第一式分别和 $\mathbb{X}_u, \mathbb{X}_v$ 内积得

\left\{ \begin{array}{l} E \Gamma_ {1 1} ^ {1} + F \Gamma_ {1 1} ^ {2} = \frac {1}{2} E _ {u}, \\ F \Gamma_ {1 1} ^ {1} + G \Gamma_ {1 1} ^ {2} = F _ {u} - \frac {1}{2} E _ {v}. \end{array} \right.\tag{2.2}

从这个线性方程组中，可以解得 $\Gamma_{11}^{1}, \Gamma_{11}^{2}$ 。类似地，有

\left\{ \begin{array}{l l} E \Gamma_ {1 2} ^ {1} + F \Gamma_ {1 2} ^ {2} = \frac {1}{2} E _ {v}, \\ F \Gamma_ {1 2} ^ {1} + G \Gamma_ {1 2} ^ {2} = \frac {1}{2} G _ {u}; \end{array} \right.\tag{2.3}

\left\{ \begin{array}{l l} E \Gamma_ {2 2} ^ {1} + F \Gamma_ {2 2} ^ {2} = F _ {v} - \frac {1}{2} G _ {u}, \\ F \Gamma_ {2 2} ^ {1} + G \Gamma_ {2 2} ^ {2} = \frac {1}{2} G _ {v}. \end{array} \right.\tag{2.4}

这样我们发现：

命题 2.1 Christoffel符号 $\Gamma_{ij}^{k}$ 由第一基本形式的系数 $E,F,G$ 及其他们的一阶导数决定。

例题 2.1（旋转面的 Christoffel 符号）将 yz 平面内曲线 $(f(v), g(v))$ 绕 z 轴旋转一圈所得的旋转面记为 S，不妨假设 v 为旋转母线的弧长参数。则 S 有如下参数化：

\mathbb {X} (u, v) = (f (v) \cos u, f (v) \sin u, g (v)), \quad f (v) \neq 0.

这样

E = (f (v)) ^ {2}, \quad F = 0, \quad G = (f ^ {\prime} (v)) ^ {2} + (g ^ {\prime} (v)) ^ {2} = 1.

于是

E _ {u} = 0, \quad E _ {v} = 2 f f ^ {\prime},

F _ {u} = F _ {v} = 0, \quad G _ {u} = G _ {v} = 0.

从方程组 (2.2) 中解得

\Gamma_ {1 1} ^ {1} = 0, \quad \Gamma_ {1 1} ^ {2} = - f f ^ {\prime}.

从方程组 (2.3) 中解得

\Gamma_ {1 2} ^ {1} = \frac {f ^ {\prime}}{f}, \quad \Gamma_ {1 2} ^ {2} = 0.

从方程组 (2.4) 中解得

\Gamma_ {2 2} ^ {1} = 0, \quad \Gamma_ {2 2} ^ {2} = f ^ {\prime} f ^ {\prime \prime} + g ^ {\prime} g ^ {\prime \prime}.

从结构方程中我们还能得到什么呢？Gauss 做了一件看似平凡的事情：求导。因为局部参数化是光滑映射，所以高阶偏导次序可交换，从而

\mathbb {X} _ {u v u} = \mathbb {X} _ {u u v}, \quad \mathbb {X} _ {u v v} = \mathbb {X} _ {v v u}, \quad N _ {u v} = N _ {v u}.

在上面的求导化简中，不断利用结构方程将相关向量表为 $\{\mathbb{X}_u, \mathbb{X}_v, N\}$ 的线性组合，最后可得三个形如

A _ {i} \mathbb {X} _ {u} + B _ {i} \mathbb {X} _ {v} + C _ {i} N = 0

的恒等式，从而有 $A_{i} = B_{i} = C_{i} = 0$ 。

例如，从 $\mathbb{X}_{uvu} = \mathbb{X}_{uvw}$ 一式中， $\mathbb{X}_v$ 的系数为零就给出

\Gamma_ {1 1} ^ {1} \Gamma_ {1 2} ^ {2} + \Gamma_ {1 1} ^ {2} \Gamma_ {2 2} ^ {2} + e d + (\Gamma_ {1 1} ^ {2}) _ {v} = \Gamma_ {1 2} ^ {1} \Gamma_ {1 1} ^ {2} + \Gamma_ {1 2} ^ {2} \Gamma_ {1 2} ^ {2} + f c + (\Gamma_ {1 2} ^ {2}) _ {u}.

将 $(a,b,c,d)$ 之值代入，可得

(\Gamma_ {1 2} ^ {2}) _ {u} - (\Gamma_ {1 1} ^ {2}) _ {v} + \Gamma_ {1 2} ^ {1} \Gamma_ {1 1} ^ {2} + \Gamma_ {1 2} ^ {2} \Gamma_ {1 2} ^ {2} - \Gamma_ {1 1} ^ {2} \Gamma_ {2 2} ^ {2} - \Gamma_ {1 1} ^ {1} \Gamma_ {1 2} ^ {2} = - E \frac {e g - f ^ {2}}{E G - F ^ {2}} = - E K.\tag{2.5}

上式称为 Gauss 方程，结合命题 2.1, Gauss 方程给我们的一个重要启示是：

定理 2.1（Gauss 绝妙定理） Gauss 曲率 K 可只用第一基本形式系数计算而得。

读者回想一下第一章里对 Gauss 曲率定义，其实颇费周折，首先要牵涉到曲面的可定向与否，然后通过 Gauss 映射的微分来定义。现在从 Gauss 方程的角度，为了得到 Gauss 曲率，只需要了解第一基本形式，也就是曲面各点切空间上的内积。从某种角度来说，Gauss 实现了“切平面的变化率”这一说法。我们将这种只关乎第一基本形式的几何学称为内蕴几何学。

将得到 Gauss 方程的做法再过一遍，还会得到另外两个方程，称为 Codazzi 方程：

\left\{ \begin{array}{l l} e _ {v} - f _ {u} = e \Gamma_ {1 2} ^ {1} + f (\Gamma_ {1 2} ^ {2} - \Gamma_ {1 1} ^ {1}) - g \Gamma_ {1 1} ^ {2}, \\ f _ {v} - g _ {u} = e \Gamma_ {2 2} ^ {1} + f (\Gamma_ {2 2} ^ {2} - \Gamma_ {1 2} ^ {1}) - g \Gamma_ {1 2} ^ {2}. \end{array} \right.\tag{2.6}

本质上说，Gauss 方程和 Codazzi 方程可以认为是三维空间中曲面第一基本形式系数和第二基本形式系数必须满足的一种兼容性条件。

下面的曲面存在基本定理就体现了这两个兼容性条件在局部其实也是充分的。定理的证明依赖偏微分方程组解的局部存在唯一性，证明从略。

定理 2.2 (Bonnet) 给定开集 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 上的光滑函数 $E, F, G, e, f, g,$ 如果它们满足：

(1) E, G > 0;

(2) $EG - F^2 > 0$ ，

以及 Gauss 方程、Codazzi 方程，那么对 $\forall p \in \Omega$ ，存在其邻域 $V_{p} \in \Omega$ ，以及光滑映射 $\mathbb{X}: V_{p} \to \mathbb{R}^{3}$ ，使得 $S = \mathbb{X}(V_{p})$ 为一正则光滑参数曲面，分别以 $(E, F, G), (e, f, g)$ 为此参数化下第一基本形式和第二基本形式的系数，并且这样的参数曲面在相差一个刚体运动下是唯一的。

例题 2.2（坐标曲线为曲率线的 Codazzi 方程）如果曲面 S 的一个局部参数化 X 满足其坐标曲线就是曲率线（这样的参数化在非全脐点附近总是存在的，见附录 A.4），那么其 Codazzi 方程可以化简为

\left\{ \begin{array}{l} e _ {v} = \frac {E _ {v}}{2} \left(\frac {e}{E} + \frac {g}{G}\right), \\ g _ {u} = \frac {G _ {u}}{2} \left(\frac {e}{E} + \frac {g}{G}\right). \end{array} \right.

我们之后会用到这个结果，证明方法就是在方程组 (2.6) 中算一下 Christoffel 符号，具体过程留给读者。

Gauss 绝妙定理背后看似平凡的计算，给我们一个深刻的观念上的启示：通过第一基本形式就能本质地体现曲面自身的“弯曲”. 正如平面和柱面那样，尽管它们在三维空间中的面貌大相径庭，但是他们 Gauss 曲率都恒为零。从直观上柱面可以完全展开摊平，所以只依赖于第一基本形式的几何量在这两个曲面上的研究是一回事。由此我们开启了内蕴几何的研究。本节中，我们先将柱面可以摊平这个事实，用曲面等距同构的语言说清楚，在后续的章节中，我们开始发展内蕴几何的重要概念：协变导数，平行移动，测地线等。

定义 2.1（微分同胚）设 $S_{1}, S_{2}$ 为两个正则光滑曲面，如果光滑映射 $f: S_{1} \rightarrow S_{2}$ 既单又满，且其逆映射也是光滑的，则称 f 为微分同胚。

定义 2.2（等距同构） $f: S_{1} \rightarrow S_{2}$ 如果保持切空间的内积，即 $\forall p \in S_{1}, \forall v, w \in T_{p}S_{1}, q = f(p) \in S_{2}$ ，若有

(v, w) _ {T _ {p} S _ {1}} = ((\mathrm{d} f) _ {p} (v), (\mathrm{d} f) _ {p} (w)) _ {T _ {q} S _ {2}},

则称 $f$ 是一个局部等距。如果 $f$ 还是微分同胚，那么 $f$ 被称为一个等距同构。如果两个曲面 $S_{1}, S_{2}$ 之间存在等距同构映射，就称它们是等距同构的。如果对任意 $p \in S_{1}$ ，存在其邻域 $U$ ，以及一个等距同构映射 $f: U \to V \subset S_{2}$ ，就称 $S_{1}, S_{2}$ 为局部等距的。

例题 2.3 设 $S_{1}, S_{2}$ 为两个正则光滑曲面。如果在其上存在参数化 $(U, \mathbb{X}_{1}), (U, \mathbb{X}_{2})$ ，

使得相应的第一基本形式系数相同，即 $E = \widetilde{E}, F = \widetilde{F}, G = \widetilde{G}$ ，则

\mathbb {X} _ {2} \circ \mathbb {X} _ {1} ^ {- 1}: \mathbb {X} _ {1} (U) \to \mathbb {X} _ {2} (U)

是一个等距同构。

解不失一般性，假设 $0 \in U$ ， $\mathbb{X}_1(0) = p$ 。 $\forall w_1, w_2 \in T_pS_1$ ，可以选取 $\mathbb{X}_1(u_1(t), v_1(t))$ 以及 $\mathbb{X}_1(u_2(t), v_2(t))$ ，使得

w _ {1} = \partial_ {u} \mathbb {X} _ {1} u _ {1} ^ {\prime} (0) + \partial_ {v} \dot {\mathbb {X}} _ {1} v _ {1} ^ {\prime} (0),

w _ {2} = \partial_ {u} \mathbb {X} _ {1} u _ {2} ^ {\prime} (0) + \partial_ {v} \mathbb {X} _ {1} v _ {2} ^ {\prime} (0).

这样根据切映射的定义，有

(\mathrm{d} f) _ {p} (w _ {1}) = \mathbb {X} _ {2} (u _ {1} (t), v _ {1} (t)) ^ {\prime} | _ {t = 0} = \partial_ {u} \mathbb {X} _ {2} u _ {1} ^ {\prime} (0) + \partial_ {v} \mathbb {X} _ {2} v _ {1} ^ {\prime} (0),

(\mathrm{d} f) _ {p} (w _ {2}) = \mathbb {X} _ {2} (u _ {2} (t), v _ {2} (t)) ^ {\prime} | _ {t = 0} = \partial_ {u} \mathbb {X} _ {2} u _ {2} ^ {\prime} (0) + \partial_ {v} \mathbb {X} _ {2} v _ {2} ^ {\prime} (0).

由 $E = \widetilde{E}, F = \widetilde{F}, G = \widetilde{G}$ 知 $(w_{1}, w_{2}) = ((\mathrm{df})_{p}(w_{1}), (\mathrm{df})_{p}(w_{2}))$ 。类似的论断在任意点成立。

例题 2.4（悬链面局部等距于螺旋面）考虑悬链面 $S_{1}$ （如下图），其有如下的一个参数化：

\mathbb {X} (u, v) = (a \cosh v \cos u, a \cosh v \sin u, a v),

0 < u < 2 \pi , - \infty < v < \infty .

此参数化下的第一基本形式系数为

E = a ^ {2} \cosh^ {2} v, \quad F = 0, \quad G = a ^ {2} \left(1 + \sinh^ {2} v\right) = a ^ {2} \cosh^ {2} v.

考虑螺旋面 $S_{2}$ （如下图），其有参数化

\overline {{{{\mathbb {X}}}}} (\bar {u}, \bar {v}) = (\bar {v} \cos \bar {u}, \bar {v} \sin \bar {u}, a \bar {u}), \quad 0 < \bar {u} < 2 \pi , - \infty < \bar {v} < \infty .

考虑如下的坐标变换

\bar {u} = u, \quad \bar {v} = a \sinh v, \quad 0 < u < 2 \pi , - \infty < v < \infty .

直接计算知该变换的 Jacobi 行列式处处非零，从而可以得到螺旋面一个新的参数化：

\overline {{{\mathbb {X}}}} (u, v) = (a \sinh v \cos u, a \sinh v \sin u, a u).

在此参数化下，我们发现第一基本形式的系数

E = a ^ {2} \cosh^ {2} v, \quad F = 0, \quad G = a ^ {2} \cosh^ {2} v.

所以悬链面和螺旋面局部等距。

例题 2.5（锥面局部等距于平面）锥面是指下述函数的图像：

z = k \sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}, \quad (x, y) \neq (0, 0).

为保证光滑性，我们去掉了原点。

读者当然知道锥面沿母线剪开可以摊平成平面。这个操作在数学上就是局部等距的意思。为实现这个局部等距，我们使用平面上的极坐标来作参数。

0 < \rho < \infty , \quad 0 < \theta < 2 \pi \sin \alpha

对应的开集，这里 $\cot\alpha=k$ 由锥的张角决定。

考虑锥的一个参数化：

\mathbb {X} (\rho , \theta) = \left(\rho \sin \alpha \cos \left(\frac {\theta}{\sin \alpha}\right), \rho \sin \alpha \sin \left(\frac {\theta}{\sin \alpha}\right), \rho \cos \alpha\right).

易知 $\mathbb{X}$ 像集就是锥去掉一条母线，在此参数化下第一基本形式的系数为

E = 1, \quad F = 0, \quad G = \rho^ {2}.

而平面有一个显然的用极坐标的参数化：

\overline {{{{\mathbb {X}}}}} (\rho , \theta) = (\rho \cos \theta , \rho \sin \theta , 0),

在此参数化下第一基本形式的系数也是

\bar {E} = 1, \quad \bar {F} = 0, \quad \bar {G} = \rho^ {2},

所以两者是局部等距的。

2.2 协变导数、平行移动

从本节开始，我们开始进一步发展只依赖于第一基本形式的几何概念。我们讨论的范式是先在三维空间做相关定义，然后验证其本质上是只依赖于第一基本形式，所以是内蕴的。

定义 2.3（向量场沿曲线的协变导数）设 $\alpha(t)$ 是曲面 $S$ 上的正则曲线， $w(t)$ 为沿 $\alpha$ 的向量场，即 $w(t) \in T_{\alpha(t)}S, \forall t, w(t)$ 沿 $\alpha$ 的协变导数定义为

\frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} t} = (w ^ {\prime} (t)) ^ {\mathrm{T}},

这里 $(\cdot)^{\mathrm{T}}$ 表示向量关于切平面的切向分量。

命题 2.2 $\frac{Dw}{dt}$ 是内蕴的。

证明在局部参数化 $\mathbb{X}$ 下我们假设 $\alpha(t) = \mathbb{X}(u(t), v(t))$ ， $w(t) = a(t)\mathbb{X}_u(u(t), v(t)) + b(t)\mathbb{X}_v(u(t), v(t))$ 。因此

\begin{array}{r l} & {\frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} t} = (a ^ {\prime} \mathbb {X} _ {u} + a \mathbb {X} _ {u u} u ^ {\prime} + a \mathbb {X} _ {u v} v ^ {\prime}) ^ {\mathrm{T}} + (b ^ {\prime} \mathbb {X} _ {v} + b \mathbb {X} _ {v u} u ^ {\prime} + b \mathbb {X} _ {v v} v ^ {\prime}) ^ {\mathrm{T}}} \\ & {\qquad = (a ^ {\prime} + a \Gamma_ {1 1} ^ {1} u ^ {\prime} + a \Gamma_ {1 2} ^ {1} v ^ {\prime} + b \Gamma_ {1 2} ^ {1} u ^ {\prime} + b \Gamma_ {2 2} ^ {1} v ^ {\prime}) \mathbb {X} _ {u}} \\ & {\qquad + (b ^ {\prime} + a \Gamma_ {1 1} ^ {2} u ^ {\prime} + a \Gamma_ {1 2} ^ {2} v ^ {\prime} + b \Gamma_ {1 2} ^ {2} u ^ {\prime} + b \Gamma_ {2 2} ^ {2} v ^ {\prime}) \mathbb {X} _ {v}.} \end{array}\tag{2.7}

尽管协变导数的定义用到了外围空间投影的概念，一旦我们在局部参数化下用上式右端作定义，就发现其只依赖于第一基本形式。当然因为这个定义用到了局部参数化，我们还需验证这个定义和局部参数化的选取无关，这是一个很好的认识协变导数的练习，留给读者。

定义 2.4（平行）如果向量场 $w(t)$ 沿着 $\alpha(t)$ 满足 $\frac{Dw}{dt} \equiv 0$ ，就称 $w(t)$ 沿着 $\alpha(t)$ 平行。

命题 2.3 设 $\alpha:[t_{0},t_{1}]\rightarrow S$ 为 S 上一正则光滑曲线，对任意 $w_{0}\in T_{\alpha(t_{0})}S$ ，存在一个唯一的平行向量场 $w(t), t\in[t_{0},t_{1}]$ 满足 $w(t_{0})=w_{0}$ 。

证明不妨设 $\alpha$ 落在一个参数化 $\mathbb{X}$ 内，并假定 $w_0 = a_0\mathbb{X}_u + b_0\mathbb{X}_v$ 。根据 (2.7) 式， $w(t) = a(t)\mathbb{X}_u + b(t)\mathbb{X}_v$ 沿着 $\alpha(t)$ 平行当且仅当 $(a(t), b(t))$ 满足常微分方程组

\left\{ \begin{array}{l l} a ^ {\prime} (t) + a (t) \Gamma_ {1 1} ^ {1} u ^ {\prime} (t) + a (t) \Gamma_ {1 2} ^ {1} v ^ {\prime} (t) + b (t) \Gamma_ {1 2} ^ {1} u ^ {\prime} (t) + b (t) \Gamma_ {2 2} ^ {1} v ^ {\prime} (t) = 0, \\ b ^ {\prime} (t) + a (t) \Gamma_ {1 1} ^ {2} u ^ {\prime} (t) + a (t) \Gamma_ {1 2} ^ {2} v ^ {\prime} (t) + b (t) \Gamma_ {1 2} ^ {2} u ^ {\prime} (t) + b (t) \Gamma_ {2 2} ^ {2} v ^ {\prime} (t) = 0. \end{array} \right.\tag{2.8}

根据一阶线性常微分方程组的定性理论，满足初值 $a(0)=a_{0}, b(0)=b_{0}$ 的解存在唯一。

定义 2.5（平行移动）根据上述命题，称 $w(t_{1})$ 为向量 $w(t_{0})$ 沿着 $\alpha$ 从 $\alpha(t_{0})$ 到 $\alpha(t_{1})$ 的平行移动。

例题 2.6（平面中的平行移动）设 S 为 xy 平面，那么 $E \equiv 1, F \equiv 0, G \equiv 1$ ，立知 $\Gamma_{ij}^{k} = 0$ 。假设 $\alpha(t) = (u(t), v(t))$ 为一正则光滑曲线， $w(t) = a(t)\partial_{x} + b(t)\partial_{y}$ 为沿着 $\alpha(t)$ 为沿着 $\alpha(t)$ 的平行向量场，则根据方程组 (2.8) 有

\left\{ \begin{array}{l l} a ^ {\prime} (t) = 0, \\ b ^ {\prime} (t) = 0. \end{array} \right.

所以初值为 $w_0 = (a_0, b_0)$ 的平行向量场就是 $w(t) \equiv (a_0, b_0)$ 。这就是我们熟知的平面上平行的概念。

关于平行移动有一个关键观察：如果两个曲面 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 沿着曲线 $\alpha$ 相切，亦即 $T_{\alpha (t)}S_1 = T_{\alpha (t)}S_2,\forall t.$ 设 $w(t)$ 为沿着 $\alpha$ 的向量场，则

\left(\frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} t}\right) ^ {S _ {1}} = \left(\frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} t}\right) ^ {S _ {2}} = (w ^ {\prime} (t)) ^ {\mathrm{T}}.

也就是说，沿着 $\alpha$ 的平行移动在 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 上是一样的。

例题 2.7（沿着球面上纬线做平行移动）单位球面上纬度为 $\alpha$ 的纬线上一点单位切向量 $w_{0}$ 沿着该纬线平行移动一圈后与 $w_{0}$ 所夹的角度为多少？

解利用关键观察，我们可在单位球面上加盖一个和球面相切于所给纬线的锥面（如下图），这样我们就可以在锥面上进行平行移动的操作。由于平行移动是内蕴的，所以在锥面上的平行移动可以通过将锥面沿母线的剪开化为在平面上的平行移动，亦即画平行线，也就是下图 $w_{1}$ 所示。简单的平面几何告诉我们 $w_{0}$ 和 $w_{1}$ 的夹角和锥面的展角相同，为 $2\pi \cos \alpha$ 。

2.3 测地线

定义 2.6（测地线）如果 S 上一条正则光滑曲线 $\alpha$ 满足 $\frac{\mathrm{D}\alpha'(t)}{\mathrm{d}t} \equiv 0$ ，就称之为测地线。

注该定义实际上取决于 $\alpha$ 这个映射，也就是说同样轨迹的曲线，在某参数化下是测地线，可能在另一个参数化下不是测地线。但我们仍然不加区别地称 $\alpha$ 的像集为测地线。

命题 2.4 若 $\alpha$ 为测地线，则 $|\alpha'(t)| =$ 常数。

证明注意到

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} | \alpha^ {\prime} (t) | ^ {2} = 2 \alpha^ {\prime \prime} (t) \cdot \alpha^ {\prime} (t) = 2 \frac {\mathrm{D} \alpha^ {\prime} (t)}{\mathrm{d} t} \cdot \alpha^ {\prime} (t) = 0,

命题得证。

在局部参数化下，假设 $\alpha(t) = \mathbb{X}(u(t), v(t))$ ，那么根据 (2.8) 式，我们得到如下的测地线方程（即用 $u', v'$ 代替 $a, b$ ）：

\left\{ \begin{array}{l l} u ^ {\prime \prime} (t) + \Gamma_ {1 1} ^ {1} u ^ {\prime} (t) ^ {2} + 2 \Gamma_ {1 2} ^ {1} u ^ {\prime} (t) v ^ {\prime} (t) + \Gamma_ {2 2} ^ {1} v ^ {\prime} (t) ^ {2} = 0, \\ v ^ {\prime \prime} (t) + \Gamma_ {1 1} ^ {2} u ^ {\prime} (t) ^ {2} + 2 \Gamma_ {1 2} ^ {2} u ^ {\prime} (t) v ^ {\prime} (t) + \Gamma_ {2 2} ^ {2} v ^ {\prime} (t) ^ {2} = 0. \end{array} \right.\tag{2.9}

方程组 (2.9) 是一个二阶非线性常微分方程组，根据相关定性理论我们有如下的结论：定理 2.3 （测地线的局部存在唯一性） $\forall p \in S$ 以及 $w \in T_pS$ ，存在 $\varepsilon > 0$ 以及唯一的测地线 $\alpha: (-\varepsilon, \varepsilon) \to S$ ，使得

\alpha (0) = p, \quad \alpha^ {\prime} (0) = w.

例题 2.8（平面上的测地线）由于 $\Gamma_{ij}^{k} \equiv 0$ ，方程组 (2.9) 化为

\left\{ \begin{array}{l l} u ^ {\prime \prime} (t) = 0, \\ v ^ {\prime \prime} (t) = 0. \end{array} \right.

所以平面上的测地线就是直线。

例题 2.9（单位球面 $S^{2}(1)$ 上的测地线）称过球心的平面和球面截得的曲线为球面大圆。证明球面上的测地线均为大圆弧。事实上，给大圆弧一个弧长参数化，由于大圆弧是平面曲线，易知

\alpha^ {\prime \prime} (t) \perp T _ {\alpha (t)} \mathbb {S} ^ {2}.

于是有 $(\alpha^{\prime \prime})^{\mathrm{T}} = 0$ 。又由于过球面上任一点和任一方向均存在唯一的大圆，所以根据定理2.3关于测地线的局部唯一性，球面上所有的测地线均为大圆弧。

例题 2.10（旋转面上的测地线）在 $yz$ 平面右半侧，有一条以弧长为参数的曲线 $(f(s), g(s))$ ，将其绕 $z$ 轴一圈所得的旋转面记为 $S$ ，下面分析 $S$ 上的经纬线何时为测地线。

解首先给 $S$ 一个参数化：

\mathbb {X} (\theta , s) = (\cos \theta f (s), \sin \theta f (s), g (s)).

在此参数化下第一基本形式系数为

E = \mathbb {X} _ {\theta} \cdot \mathbb {X} _ {\theta} = f ^ {2} (s), \quad F = \mathbb {X} _ {\theta} \cdot \mathbb {X} _ {s} = 0, \quad G = \mathbb {X} _ {s} \cdot \mathbb {X} _ {s} = 1.

根据例题 2.1，我们有

\Gamma_ {1 1} ^ {1} = 0, \Gamma_ {1 1} ^ {2} = - f f ^ {\prime}, \Gamma_ {1 2} ^ {1} = \frac {f ^ {\prime}}{f}, \Gamma_ {1 2} ^ {2} = 0, \Gamma_ {2 2} ^ {1} = 0, \Gamma_ {2 2} ^ {2} = 0.

所以方程组 (2.9) 就变成

\left\{ \begin{array}{l} \theta^ {\prime \prime} (t) + 2 \frac {f ^ {\prime}}{f} \theta^ {\prime} (t) s ^ {\prime} (t) = 0, \\ s ^ {\prime \prime} (t) - f f ^ {\prime} \theta^ {\prime} (t) ^ {2} = 0. \end{array} \right.

观察到 $\theta(t) =$ 常数， $s(t) = at + b$ 就满足上述方程。这种曲线称为旋转面上的经线（母线）。再来考察何种纬线是测地线？亦即 $s(t) =$ 常数 $= t_0$ 。显然此时为满足测地线方程，需有 $\theta''(t) = 0$ ，且 $f'(s(t)) = f'(t_0) = 0$ 。后者表明旋转半径需正好是 $f$ 的临界值，如局部最大值，最小值处。

对于非测地线，可以赋予测地曲率。为此，我们先简要说明

\frac {\mathrm{D} \alpha^ {\prime}}{\mathrm{d} s} (s) / / N (\alpha (s)) \wedge \alpha^ {\prime} (s).

一方面， $(\alpha^{\prime \prime})^{\mathrm{T}}\perp N(\alpha (s))$ ；另一方面

\begin{array}{r l} & {| \alpha^ {\prime} (s) | \equiv 1 \Rightarrow (\alpha^ {\prime \prime} (s)) \perp \alpha^ {\prime} (s) \Rightarrow ((\alpha^ {\prime \prime} (s)) ^ {\mathrm{T}} + (\alpha^ {\prime \prime} (s)) ^ {\perp}, \alpha^ {\prime} (s)) = 0} \\ & {\qquad \Rightarrow ((\alpha^ {\prime \prime} (s)) ^ {\mathrm{T}}, \alpha^ {\prime} (s)) = 0.} \end{array}

所以 $\frac{\mathrm{D}\alpha^{\prime}}{\mathrm{d}s}(s) \parallel N(\alpha(s)) \wedge \alpha^{\prime}(s).$

定义 2.7（测地曲率）设 $\alpha: I \to S$ 为 $S$ 上一条以弧长为参数的正则光滑曲线， $N$ 为 $S$ 上一选定的单位法向量场，由于 $\frac{\mathrm{D}\alpha'}{\mathrm{d}s}(s) // N(\alpha(s)) \wedge \alpha'(s)$ ，可设 $\frac{\mathrm{D}\alpha'}{\mathrm{d}s}(s) = k_g(s)(N(\alpha(s)) \wedge \alpha'(s))$ ，称 $k_g$ 为 $\alpha$ 的测地曲率。

我们回忆曲线的法曲率 $k_{n} = \alpha^{\prime \prime}(s)\cdot N(\alpha (s))$ ，根据勾股定理就有

命题 2.5 曲面上光滑正则曲线 $\alpha$ 的曲率、测地曲率、法曲率分别记为 $\kappa, k_{g}, k_{n}$ ，则有

\kappa^ {2} = k _ {g} ^ {2} + k _ {n} ^ {2},\tag{01.S}

\alpha^ {\prime \prime} (0) = k _ {g} N \wedge \alpha^ {\prime} (0) + k _ {n} N

例题 2.11（测地曲率即为平面带符号曲率）设 S 为 xy 平面，取单位法向量场为 $N = (0, 0, 1)$ 。设 $\alpha(s) = (x(s), y(s), 0)$ ，那么

\frac {\mathrm{D} \alpha^ {\prime} (s)}{\mathrm{d} s} = \alpha^ {\prime \prime} (s) = (x ^ {\prime \prime} (s), y ^ {\prime \prime} (s), 0).

而

N (\alpha (s)) \wedge \alpha^ {\prime} (s) = (0, 0, 1) \wedge (x ^ {\prime} (s), y ^ {\prime} (s), 0) = (- y ^ {\prime} (s), x ^ {\prime} (s), 0),

所以 $(x''(s), y''(s)) = k_g(-y', x')$ 。由此知平面上的测地曲率即为带符号曲率。

对于平面曲线 $\alpha(s) = (x(s), y(s))$ ，其切向量 $(x'(s), y'(s))$ 可以表示成 $(\cos \theta(s), \sin \theta(s))$ ，其中 $\theta(s)$ 是一个可微函数，正好代表切向量和 $x$ 正半轴夹角。这样

(x ^ {\prime \prime} (s), y ^ {\prime \prime} (s)) = (- \sin (\theta (s)) \theta^ {\prime} (s), \cos (\theta (s)) \theta^ {\prime} (s)).

也就是说带符号曲率 $k(s)=\theta'(s)$ 。

下面我们要把这个做法搬到一般曲面上来导出一个用曲线切向量和参数坐标曲线夹角的变化率来表示的测地曲率计算公式。为此我们先回到协变导数，给其一个量化的衡量。

定义 2.8（协变导数代数值）设 $\alpha : I \to S$ 为 $S$ 上一条以弧长为参数的正则光滑曲线， $w(s)$ 为沿着 $\alpha$ 的一个单位向量场，由于 $\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{d}s} // N(\alpha(s)) \wedge w(s)$ 。可设 $\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{d}s}(s) = \lambda(s)(N(\alpha(s)) \wedge w(s))$ ，称 $\lambda(s)$ 为协变导数的代数值，记为 $\left[\frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{d}s}\right]$ 。

注根据定义，测地曲率就是单位切向量场 $\alpha'(s)$ 的协变导数代数值。

引理 2.1 设 $v(s)$ 和 $w(s)$ 为两个沿着 $\alpha(s)$ 的单位向量场， $\varphi(s)$ 是一个衡量从 $v(s)$ 到 $w(s)$ 夹角的可微函数，则

\left[ \frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} s} \right] - \left[ \frac {\mathrm{D} v}{\mathrm{d} s} \right] = \frac {\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} s}.\tag{2.10}

注所谓“从 $v(s)$ 到 $w(s)$ 的夹角”指的是从法方向看切平面从 $v(s)$ 到 $w(s)$ 是逆时针走向的那个夹角。

证明因为 $v(s) \cdot w(s) = \cos \varphi(s)$ ，所以

v ^ {\prime} (s) \cdot w (s) + v (s) \cdot w ^ {\prime} (s) = - \sin (\varphi (s)) \varphi^ {\prime} (s).

$v(s), w(s)$ 和 $v'(s), w'(s)$ 的法向分量的内积自动为零，上式可化为

\frac {\mathrm{D} v}{\mathrm{d} s} \cdot w (s) + v (s) \cdot \frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} s} = - \sin (\varphi (s)) \varphi^ {\prime} (s),

于是

\left[ \frac {\mathrm{D} v}{\mathrm{d} s} \right] N \wedge v \cdot w (s) + v (s) \cdot \left[ \frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} s} \right] N \wedge v = - \sin (\varphi (s)) \varphi^ {\prime} (s).

由于

N \wedge v \cdot w = \sin \varphi , \quad w \cdot N \wedge v = - \sin \varphi ,

代入上式整理得

\left(\left[ \frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} s} \right] - \left[ \frac {\mathrm{D} v}{\mathrm{d} s} \right]\right) \sin (\varphi (s)) = \frac {\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} s} \sin (\varphi (s)).

如果 $\sin (\varphi (s_0))\neq 0$ ，(2.10)式得证．如果 $\sin (\varphi (s_0)) = 0,$ 那么有两种可能性：一是在 $s_0$ 的一个邻域内 $\sin (\varphi (s))$ 恒为零，那么(2.10)式也自动成立；二是有一列 $s_n\to s_0$ 满足 $\sin (\varphi (s_n))\neq 0,$ 那么根据连续性，(2.10)式在 $s_0$ 处也还是成立的。

引理 2.1 的一个推论就是在给定曲线 $\alpha$ 上选一个平行向量场 v，用 $\varphi(s)$ 表示一个衡量从 v 到 $\alpha(s)$ 夹角的可微函数，那么 $\alpha$ 的测地曲率即为

k _ {g} (s) = \left[ \frac {\mathrm{D} \alpha^ {\prime} (s)}{\mathrm{d} s} \right] = \frac {\mathrm{d} \varphi (s)}{\mathrm{d} s}.

命题 2.6 设 $\mathbb{X}(u,v)$ 是一个正交局部参数化 $(F\equiv 0)$ ，法向量取成 $\mathbb{X}_u\wedge \mathbb{X}_v$ 方向， $w(s)$ 是沿着曲线 $\mathbb{X}(u(s),v(s))$ 的单位向量场，设 $\varphi (s)$ 是一个衡量从 $\mathbb{X}_u$ 到 $w(s)$ 夹角的可微函数，则

\left[ \frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} s} \right] = \frac {1}{2} \frac {1}{\sqrt {E G}} \left(G _ {u} \frac {\mathrm{d} v}{\mathrm{d} s} - E _ {v} \frac {\mathrm{d} u}{\mathrm{d} s}\right) + \frac {\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} s}.\tag{2.11}

证明注意到 $e_1 = \frac{\mathbb{X}_u}{\sqrt{E}}, e_2 = \frac{\mathbb{X}_v}{\sqrt{G}}$ 为单位正交向量场，记它们在 $\mathbb{X}(u(s), v(s))$ 的限制为 $e_1(s), e_2(s)$ 。此外 $e_1 \wedge e_2 = N$ 。根据引理2.1,

\left[ \frac {\mathrm{D} w}{\mathrm{d} s} \right] = \left[ \frac {\mathrm{D} e _ {1}}{\mathrm{d} s} \right] + \frac {\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} s}.

而根据定义

\left[ \frac {\mathrm{D} e _ {1}}{\mathrm{d} s} \right] = e _ {1} ^ {\prime} (s) \cdot N \wedge e _ {1} (s) = e _ {1} ^ {\prime} (s) \cdot e _ {2} (s) = (e _ {1}) _ {u} \cdot e _ {2} \frac {\mathrm{d} u}{\mathrm{d} s} + (e _ {1}) _ {v} \cdot e _ {2} \frac {\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}.

注意到 $F \equiv 0$ ，所以

\left(e _ {1}\right) _ {u} \cdot e _ {2} = \left(\frac {\mathbb {X} _ {u}}{\sqrt {E}}\right) _ {u} \cdot \frac {\mathbb {X} _ {v}}{\sqrt {G}} = - \frac {1}{2} \frac {E _ {v}}{\sqrt {E G}}.

类似有

\left(e _ {1}\right) _ {v} \cdot e _ {2} = \frac {1}{2} \frac {G _ {u}}{\sqrt {E G}}.

综上可得 (2.11) 式。

2.4 Gauss-Bonnet 公式

本节我们将介绍微分几何的一个标志性整体结果：Gauss-Bonnet 公式。它揭示了曲率的积分和曲面整体拓扑之间的深刻联系。我们先证明小三角版本，然后利用曲面的三角剖分，用组合的方式合成一个整体版本。

我们说的小三角形 $R$ 设定如下：

– $R$ 为正则光滑曲面 $S$ 上落在某个等温局部参数化 $(E = G = \lambda > 0, F \equiv 0$ ，参见附录 A.4) $\mathbb{X}: \Omega \to S$ 内的区域。

– 边界 $\partial R = \bigcup_{i=1}^{3} \gamma_i$ ：由三条正则光滑曲线（以弧长为参数）构成，它们的定向为正定向（约定 $N$ 和 $\mathbb{X}_u \wedge \mathbb{X}_v$ 同向， $\mathbb{X}^{-1}(\partial R)$ 为逆时针走向），

– $\alpha \in [-\pi, \pi]$ 为三个外角。设 $\gamma_1(s) = \gamma_2(s)$ 为一个角点，我们以此为例解释 $\alpha$ 的取值：

情况一： $\gamma_1'(s) \neq -\gamma_2'(s)$ ，则 $\alpha$ 即为从 $\gamma_1'(s)$ 到 $\gamma_2'(s)$ 的夹角，且取值于 $(- \pi, \pi)$ 。

情况二： $\gamma_1'(s) = -\gamma_2'(s)$ ，此时需要根据以下情况判断 $\alpha$ 取 $\pi$ 还是 $-\pi$ 。记 $\beta_i = \mathbb{X}^{-1}(\gamma_i)$ ，选很小的 $\varepsilon$ ，如果 $\{\beta_1'(s - \varepsilon), \beta_2'(s + \varepsilon), (0, 0, 1)\}$ 为右手系，则 $\alpha = \pi$ ； $\{\beta_1'(s - \varepsilon), \beta_2'(s + \varepsilon), (0, 0, 1)\}$ 为左手系，则 $\alpha = -\pi$ 。

定理 2.4 [Gauss-Bonnet公式（小三角版本）] 在如上所示的三角形区域 $R$ ，我们

\iint_ {R} K \mathrm{d} \sigma + \sum_ {i = 1} ^ {3} \int_ {\gamma_ {i}} k _ {g} (s) \mathrm{d} s + \sum_ {i = 1} ^ {3} \alpha_ {i} = 2 \pi .\tag{2.12}

证明首先在等温参数化下，Gauss 曲率为

K = - \frac {1}{2 \lambda} \Delta \ln \lambda

（见本章习题 20）。所以

\iint_ {R} K \mathrm{d} \sigma = \iint_ {\mathbb {X} ^ {- 1} (R)} - \frac {1}{2} \Delta \ln \lambda \mathrm{d} u \mathrm{d} v.

根据命题 2.6，边界曲线 $\gamma_{i}(i=1,2,3)$ 上每段测地曲率为

k _ {g} = \frac {1}{2 \lambda} \left(\lambda_ {u} \frac {\mathrm{d} v}{\mathrm{d} s} - \lambda_ {v} \frac {\mathrm{d} u}{\mathrm{d} s}\right) + \frac {\mathrm{d} \varphi_ {i}}{\mathrm{d} s}, \tag{2.14}

其中 $\varphi_{i}$ 就是衡量 $X_{u}$ 到 $\gamma_{i}^{\prime}(s)$ 夹角的一个可微函数。

根据 Green 公式有

\begin{array}{r l} & {\int_ {\partial (\mathbb {X} ^ {- 1} (R))} \frac {1}{2 \lambda} \bigg (\lambda_ {u} \frac {\mathrm{d} v}{\mathrm{d} s} - \lambda_ {v} \frac {\mathrm{d} u}{\mathrm{d} s} \bigg) \mathrm{d} s = \int_ {\partial (\mathbb {X} ^ {- 1} (R))} \bigg (\frac {1}{2 \lambda} \lambda_ {u} \mathrm{d} v - \frac {1}{2 \lambda} \lambda_ {v} \mathrm{d} u \bigg)} \\ & {\qquad = \iint_ {\mathbb {X} ^ {- 1} (R)} \frac {1}{2} \Delta \ln \lambda \mathrm{d} u \mathrm{d} v.} \end{array}

所以

\sum_ {i = 1} ^ {3} \int_ {\gamma_ {i}} k _ {g} (s) \mathrm{d} s = \iint_ {\mathbb {X} ^ {- 1} (R)} \frac {1}{2} \Delta \ln \lambda \mathrm{d} u \mathrm{d} v + \sum_ {i = 1} ^ {3} \int_ {\gamma_ {i}} \left(\frac {\mathrm{d} \varphi_ {i}}{\mathrm{d} s}\right) \mathrm{d} s.

由于 $\mathbb{X}$ 是共形的，且 $X^{-1}(\partial R)$ 是一条逆时针走向的简单闭曲线，根据旋转指标定理（参考附录 B.1）就有

\sum_ {i = 1} ^ {3} \int_ {\gamma_ {i}} \left(\frac {\mathrm{d} \varphi_ {i}}{\mathrm{d} s}\right) \mathrm{d} s + \sum_ {i = 1} ^ {3} \alpha_ {i} = 2 \pi .

综合上述各式，即得所要证的公式。

例题 2.12（球面三角形面积公式）如果我们在单位球面上考虑一个由测地线围成的三角形 R，并设三个内角为 $\beta_{i}(i=1,2,3)$ ，那么 (2.12) 式可以写成

\operatorname{Area} (R) = \beta_ {1} + \beta_ {2} + \beta_ {3} - \pi .

上式通常被称为 Girard 公式，其原始证明非常精彩。

任给一球面三角形，其内角分别记为 $\alpha, \beta, \gamma$ 。延长各边，会将球面分成八块。注意到甲和其相邻的乙合起来构成一个球面上顶点夹角为 $\alpha$ 的月牙形区域，该区域的两个角点正好是对径点，所以很容易根据等分原则知

\mathrm{Area} (\text { 甲 }) + \mathrm{Area} (\text { 乙 }) = 2 \alpha .

同理有

\mathrm{Area} (\text {甲}) + \mathrm{Area} (\text {丙}) = 2 \beta ,

\mathrm{Area} (\text {甲}) + \mathrm{Area} (\text {丁}) = 2 \gamma ,

以及

2 (\mathrm{Area} (\text {甲}) + \mathrm{Area} (\text {乙}) + \mathrm{Area} (\text {丙}) + \mathrm{Area} (\text {丁})) = 4 \pi .

所以简单消元法得

\mathrm{Area} (\text { 甲 }) = \alpha + \beta + \gamma - \pi .

下面我们来介绍整体版本的 Gauss-Bonnet 公式。其几何设定如下：

(1) 设 R 为可定向正则光滑曲面 S 上的一个紧致区域；

(2) 其边界 $\partial R = \bigcup_{j=1}^{l} C_j, C_j$ ：由正定向的分段光滑曲线构成（指由 $S$ 诱导的定向，形象地说就是头朝 $S$ 的法向量，沿着正定向走， $R$ 在左手边）；

(3) 设 $\alpha_{j}$ 为边界角点处的外角， $j=1,2,\cdots,k$ 。

定义 2.9（三角剖分）曲面上一个同胚于圆盘的区域 T，如果其边界是三段光滑曲线构成的简单闭曲线，我们称其为三角形区域。曲面上一区域 R 的一个三角剖分是指一族有限多个三角形区域 $T = \{T_j\}$ ，满足 $R = \bigcup_{j=1}^{k} T_j$ ，并且如果 $T_i \cap T_j \neq \varnothing$ ，那么 $T_i \cap T_j$ 或是一个公共顶点或是一个公共边。

Rado 证明了任何曲面都存在三角剖分。

定义 2.10（Euler 示性数）给定 R 的一个三角剖分 T，设 V, E, F 分别为顶点、边、面的个数，可以证明 $\chi(R) := V - F + F$ 与三角剖分无关，被称为 R 的 Euler 示性数。

(05.5)

定理 2.5 [Gauss-Bonnet 公式（整体版本）]

在如上设定的曲面区域 $R$ 上，

\int_ {R} K \mathrm{d} \sigma + \int_ {\partial R} k _ {g} (s) \mathrm{d} s + \sum_ {j = 1} ^ {k} \alpha_ {j} = 2 \pi \chi (R).\tag{2.13}

证明根据等温参数化的局部存在性以及 R 的紧性，不难说明可以选取一个足够精细的三角剖分 $T = \{T_{j}\}_{j=1}^{F}$ ，使得每个 $T_{j}$ 都落在某个等温局部参数化内。此外 $\partial R$ 的定向将诱导出所有 $\partial T_{j}$ 的定向，这些定向在边界上和 $\partial R$ 吻合，在内部公共边上是相反的。

记 $T_{j}$ 的三个外角为 $\theta_{ji}, i = 1,2,3$ 。在 $T_{j}$ 上，有

\int_ {T _ {j}} K \mathrm{d} \sigma + \int_ {\partial T _ {j}} k _ {g} (s) \mathrm{d} s + \sum_ {i = 1} ^ {3} \theta_ {j i} = 2 \pi .

关于 $j$ 求和，得

\sum_ {j = 1} ^ {F} \left(\int_ {T _ {j}} K \mathrm{d} \sigma + \int_ {\partial T _ {j}} k _ {g} (s) \mathrm{d} s + \sum_ {i = 1} ^ {3} \theta_ {j i}\right) = 2 \pi F.\tag{2.14}

根据积分关于区域的可加性，有

\sum_ {j = 1} ^ {F} \int_ {T _ {j}} K \mathrm{d} \sigma = \int_ {R} K \mathrm{d} \sigma .\tag{2.15}

对于测地曲率的积分，由于内部公共边的定向相反，相应的测地曲率互为相反数，所以有

\sum_ {j = 1} ^ {F} \int_ {\partial T _ {j}} k _ {g} (s) \mathrm{d} s = \int_ {\partial R} k _ {g} (s) \mathrm{d} s.\tag{2.16}

接下来只剩角度和需要处理，为此我们记 $\beta_{ij}$ 为 $T_j$ 的三个内角，所以有 $\beta_{ij} + \theta_{ij} = \pi$ 。于是

\sum_ {j, i} \beta_ {j i} + \sum_ {j, i} \theta_ {j i} = 3 \pi F.\tag{2.17}

我们转而关注内角和 $\sum \beta_{ij}$ ，可以分三种情况：

(1) 在一个内部的顶点处（其总个数记为 $V_{I}$ ）， $\sum \beta_{i} = 2\pi$ ；

(2) 在一个边界的内部顶点处（其总个数记为 $V_{EI}$ ）， $\sum \beta_i = \pi$ ；

(3) 在边界本身的角点处（其总个数记为 $V_{EE}$ ）， $\sum \beta_i + \alpha_j = \pi$ 。

(3.1.0)

所以

\sum \theta_ {i j} = 3 \pi F - 2 \pi V _ {I} - \pi V _ {E I} - \pi V _ {E E} + \sum_ {i = 1} ^ {k} \alpha_ {i}.\tag{2.18}

点、边、面之间有一个简单的关系

2 E = 3 F + V _ {E I} + V _ {E E}.\tag{2.19}

综合 (2.14)—(2.18) 式，就得到了 (2.13) 式。

如果 $S$ 是紧致无边的曲面，Gauss-Bonnet 公式就可以简洁地写成

定理 2.6 [Gauss-Bonnet 公式（紧致无边曲面）]

\int_ {S} K \mathrm{d} \sigma = 2 \pi \chi (S).\tag{2.20}

最后我们提一下 Cohn-Vossen 关于非紧完备曲面上的全曲率积分定理，感兴趣的读者可参阅 Shioya, Shiohama, Tanaka 合著的专著 [20].

定理 2.7 (Cohn-Vossen) 设 S 为一非紧完备曲面（完备性的概念见 2.6 节），若 S 具有有限拓扑，且其全曲率有限，则有

\int_ {S} K \mathrm{d} A \leqslant 2 \pi \chi (S).

2.4.1 应用举例

在本小节中，我们列出一些 Gauss-Bonnet 公式的简单应用。由于 Gauss-Bonnet 公式是说曲率的积分量和整体的拓扑性质有关，所以我们可以从曲率的符号假设推断出拓扑性质，反之也可以从拓扑假定得到曲率积分量的一些控制。

命题 2.7 设 $S$ 为一具有非负Gauss曲率的可定向闭曲面，且Gauss曲率不恒为零，则 $S$ 同胚于球面。

19 世纪末 20 世纪初拓扑学的一个重大进展是对可定向闭曲面的拓扑分类（参见附录 B.3）。直观上，可定向闭曲面完全可以按照“洞”的个数分类，拓扑学上称为亏格 (genus)。一个亏格为 g 的曲面其 Euler 示性数恰为 $\chi = 2 - 2g$ 。

根据 (2.20) 式和曲率假设， $\chi(S) > 0$ ，所以根据可定向闭曲面的拓扑分类，命题 2.7 得证。

命题 2.8 设 $S$ 为Gauss曲率恒正的可定向闭曲面，则其上任意两条简单闭测地线必相交。

证明根据命题 2.7，可知 S 一定同胚于球面。根据 Jordan 曲线定理（参考附录 B.2），一条简单闭测地线 $\gamma_{1}$ 一定将球面分成两个连通分支，每个连通分支同胚于圆盘。如果存在另一条简单闭曲线 $\gamma_{2}$ 不和 $\gamma_{1}$ 相交，那么 $\gamma_{2}$ 必然落在一个连通分支里，进一步可知 $\gamma_{1}$ 和 $\gamma_{2}$ 围成一个环形区域 R，根据 (2.13) 式，有

\int_ {R} K \mathrm{d} \sigma + \int_ {\partial R} k _ {g} \mathrm{d} s = 2 \pi \chi (R).

由于 $\gamma_{1},\gamma_{2}$ 为两条测地线， $K > 0$ ，所以上式左端大于零，而 $\chi (R) = 0$ ，所以得到矛盾。由此 $\gamma_{1}$ 和 $\gamma_{2}$ 必相交。

命题 2.9 设 $S$ 为一具有非正Gauss曲率 $K \leqslant 0$ 的正则光滑曲面，则其上不可能有一条简单闭测地线围成一个同胚于圆盘的区域。

证明假设有一个简单闭测地线 $\gamma$ 围出一圆盘形区域 $R$ ，那么在 $R$ 上观察 Gauss-Bonnet 公式：

\int_ {R} K \mathrm{d} \sigma + \int_ {\partial R} k _ {g} \mathrm{d} s = 2 \pi \chi (R).

注意到左端 $\leqslant 0$ ，而 $\chi (R) = 1$ ，从而得到矛盾。

在上述论证中，可以更进一步得到

命题 2.10 设 S 为一具有非正 Gauss 曲率 $K \leqslant 0$ 的正则光滑曲面，则两条测地线不可能围出一个圆盘形区域。

证明假设有两条测地线围出一个圆盘形区域 R，这时 Gauss-Bonnet 公式左端会多出两个外角，即

\int_ {R} K \mathrm{d} \sigma + \int_ {\partial R} k _ {g} \mathrm{d} s + \beta_ {1} + \beta_ {2} = 2 \pi \chi (R).

根据测地线的局部存在唯一性，两条不同测地线之间的外角不可能为 $\pi$ ，所以上式左端严格小于 $2\pi$ 。

命题 2.11 设 S 为一同胚于柱面的曲面，具有负 Gauss 曲率 K < 0，则 S 上至多只有一条闭测地线。

证明根据题设，我们可以建立一个 $S$ 与 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ 的同胚。如果 $S$ 上有一条简单闭测地线 $\gamma_1$ ，根据命题 2.9， $\gamma_1$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中的内部一定包含原点。再根据命题 2.10，若有另一条闭测地线 $\gamma_2$ ，它不和 $\gamma_1$ 相交，于是它们将围出一个环形区域 $R$ ，并有

\int_ {R} K \mathrm{d} \sigma + \int_ {\partial R} k _ {g} \mathrm{d} s = 2 \pi \chi (R).

上式左端严格小于零，而 $\chi(R) = 0$ ，所以矛盾。

2.5 指数映射

本节我们介绍指数映射，一方面它是内蕴几何学中一个重要概念，另一方面它带给曲面论两个重要的局部参数化：测地欧氏坐标（法坐标）、测地极坐标。利用此我们可以给出常曲率曲面的分类。

设 $S$ 为一正则光滑曲面，固定 $p \in S$ 。回忆测地线的局部存在唯一性，我们知道 $\forall v \in T_pS$ ，存在唯一的测地线 $\gamma: (-\varepsilon, \varepsilon)$ ，满足

\gamma (0) = p, \quad \gamma^ {\prime} (0) = v.

记过 $p$ 点以 $v$ 为初值的测地线为 $\gamma_v(t)$ 。根据测地线关于初值的存在唯一性，我们有如下的伸缩性质。

命题 2.12 $\forall\lambda>0,\gamma_{\lambda v}(t)=\gamma_{v}(\lambda t).$

证明我们分别计算两条测地线的初值：

\gamma_ {\lambda v} (0) = p = \gamma_ {v} (0),

\gamma_ {v} ^ {\prime} (\lambda t) | _ {t = 0} = \lambda \gamma_ {v} ^ {\prime} (0) = \lambda v = \gamma_ {\lambda v} ^ {\prime} (0).

根据测地线的局部存在唯一性，命题得证。

定义 2.11（指数映射）固定 $p \in S$ ，我们按如下方式定义 p 点的指数映射。

\exp_ {p}: T _ {p} S \to S

v \mapsto \exp_ {p} (v) := \gamma_ {v} (1) \quad (\text {如果右端是有定义的}).

根据测地线的伸缩性质，易知 $\exp_p$ 在 $T_pS$ 原点的一个开邻域内是有定义的。更进一步，有定理 2.8 固定 $p \in S$ ，存在 $0 \in T_{p}S$ 的开邻域 U 使得 $\exp_{p}: U \to S$ 是到像的微分同胚。

上述定理基于反函数定理以及下述命题。

命题 2.13 $\mathrm{d}(\exp_{p})_{0}:T_{p}S\rightarrow T_{p}S$ 为恒同映射。

证明按切映射的定义拆解一遍。 $\forall v\in T_0(T_pS) = T_pS,$ 可以选取 $\alpha (t) = vt.$ 这样 $\alpha (0) = 0,\alpha '(0) = v.$ 则有

\mathrm{d} (\exp_ {p}) _ {0} (v) = (\exp_ {p} (\alpha (t))) ^ {\prime} | _ {t = 0} = \gamma_ {t v} (1) ^ {\prime} | _ {t = 0} = \gamma_ {v} (t) ^ {\prime} | _ {t = 0} = v.

固定 $U \subset T_pS$ ，使得 $\exp_p: U \to S$ 为到像的微分同胚，这样我们就可以把映射 $\exp_p: U \to S$ 看作曲面 $S$ 在 $p$ 点附近的一个局部参数化。根据 $U$ 上坐标的选取，我们有两种指数映射带来的局部参数化：

定义 2.12

测地欧氏坐标（参数化）：选定 $T_{p} S$ 的一组正交基 $\{e_{1}, e_{2}\}$ ，令

\mathbb {X} (u, v) = \exp_ {p} (u e _ {1} + v e _ {2}),

$(u,v)$ 的取值范围满足 $ue_{1} + ve_{2}\in U$

测地极坐标（参数化）：选定 $T_{p}S$ 的一组正交基 $\{e_{1}, e_{2}\}$ ，记 $(\rho, \theta)$ 为相应的极坐标 $(u = \rho \cos \theta, v = \rho \sin \theta)$ ，令

\mathbb {X} (\rho , \theta) = \exp_ {p} (\rho \cos \theta e _ {1} + \rho \sin \theta e _ {2}),

$(\rho, \theta)$ 的取值范围满足 $\rho \cos \theta e_1 + \rho \sin \theta e_2 \in U$ ，严格来说，还需要 $\rho \neq 0, \theta \in (0, 2\pi)$ 。在此参数化下， $\theta =$ 常数的曲线称为径向测地线， $\rho =$ 常数的曲线称为测地圆周。

这两个局部参数化是通过指数映射定义的，所以已经“打包”了测地线信息。下面我们会看到这两个局部参数化的妙处。

例题 2.13（测地欧氏坐标）在测地欧氏坐标下，有 $E(0,0)=G(0,0)=1$ ， $F(0,0)=0$ ， $\Gamma_{ij}^{k}(0,0)=0$ 。

解根据命题 2.13，易知 $E(0,0)=G(0,0)=1$ ， $F(0,0)=0$ 。可以再根据命题 2.1 计算 $\Gamma_{ij}^{k}$ 。这里我们给出另一种算法，因为在测地欧氏坐标下， $u(t)=at, v(t)=bt$ 就是一条径向测地线，根据 (2.9) 式，可得

\left\{ \begin{array}{l l} \Gamma_ {1 1} ^ {1} (u (t), v (t)) a ^ {2} + 2 \Gamma_ {1 2} ^ {1} (u (t), v (t)) a b + \Gamma_ {2 2} ^ {1} (u (t), v (t)) b ^ {2} = 0, \\ \Gamma_ {1 1} ^ {2} (u (t), v (t)) a ^ {2} + 2 \Gamma_ {1 2} ^ {2} (u (t), v (t)) a b + \Gamma_ {2 2} ^ {2} (u (t), v (t)) b ^ {2} = 0. \end{array} \right.

注意到在 $(u(0), v(0))$ 处，上式对任意的 $a, b$ 成立，所以 $\Gamma_{ij}^{k}(0,0) = 0$ 。一般我们也将测地欧氏坐标称为测地法坐标。

关于测地极坐标，我们有下面的引理

引理 2.2 设 $\mathbb{X}: U \setminus \{\theta = 0\} \to S$ 为一测地极坐标，则其第一基本形式的系数满足

E = \mathbb {X} _ {\rho} \cdot \mathbb {X} _ {\rho} \equiv 1, F = \mathbb {X} _ {\rho} \cdot \mathbb {X} _ {\theta} \equiv 0,

并且 $G = \mathbb{X}_{\theta}\cdot \mathbb{X}_{\theta}$ 满足

\lim _ {\rho \rightarrow 0} \sqrt {G (\rho , \theta)} = 0, \quad \lim _ {\rho \rightarrow 0} \frac {\partial}{\partial \rho} \sqrt {G (\rho , \theta)} = 1.

证明设 $v = \cos \theta_0 e_1 + \sin \theta_0 e_2$ 为一单位向量，那么

\mathbb {X} (\rho , \theta_ {0}) = \exp_ {p} (\rho v) = \gamma_ {\rho v} (1) = \gamma_ {v} (\rho),

所以

\mathbb {X} _ {\rho} (\rho , \theta_ {0}) = \gamma_ {v} ^ {\prime} (\rho).

由于 $\gamma_{v}$ 是测地线，所以其切向量长度处处相等，也就是

| \gamma_ {v} ^ {\prime} (\rho) | = | \gamma_ {v} ^ {\prime} (0) | = | v | = 1.

这就表明 $E(\rho, \theta) \equiv 1$ 。

下面考察 $G$ 。相应测地欧氏坐标下的第一基本形式系数记为

\bar {E} = \mathbb {X} _ {u} \cdot \mathbb {X} _ {u}, \quad \bar {F} = \mathbb {X} _ {u} \cdot \mathbb {X} _ {v}, \quad \bar {G} = \mathbb {X} _ {v} \cdot \mathbb {X} _ {u}.

由上例知

\left( \begin{array}{c c} {{\bar {E}}} & {{\bar {F}}} \\ {{\bar {F}}} & {{\bar {G}}} \end{array} \right) \bigg | _ {(0, 0)} = \left( \begin{array}{c c} {{1}} & {{0}} \\ {{0}} & {{1}} \end{array} \right)\tag{2.21}

根据链式法则有

\binom{\mathbb {X} _ {\rho}}{\mathbb {X} _ {\theta}} = \left( \begin{array}{c c} \cos \theta & \sin \theta \\ - \rho \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array} \right) \binom{\mathbb {X} _ {u}}{\mathbb {X} _ {v}}.

由此知

\left( \begin{array}{c c} E & F \\ F & G \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \mathbb {X} _ {\rho} \\ \mathbb {X} _ {\theta} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} \mathbb {X} _ {\rho} & \mathbb {X} _ {\theta} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} \cos \theta & \sin \theta \\ - \rho \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} \bar {E} & \bar {F} \\ \bar {F} & \bar {G} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} \cos \theta & - \rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array} \right)

所以

\begin{array}{r l} & {G = (- \rho \sin \theta \bar {E} + \rho \cos \theta \bar {F}) (- \rho \sin \theta) + (- \rho \sin \theta \bar {F} + \rho \cos \theta \bar {G}) (- \rho \cos \theta)} \\ & {\qquad = \rho^ {2} (\sin^ {2} \theta \bar {E} - 2 \sin \theta \cos \theta \bar {F} + \cos^ {2} \theta \bar {G}).} \end{array}

利用 (2.21) 式，以及 $\bar{E}, \bar{F}, \bar{G}$ 的连续性，我们得到

\lim _ {\rho \to 0} \sqrt {G} = 0, \quad \lim _ {\rho \to 0} (\sqrt {G}) _ {\rho} = 1.

同时注意到 $F = -\rho \cos \theta \sin \theta \bar{E} + \rho (\cos^2\theta -\sin^2\theta)\bar{F} +\rho \cos \theta \sin \theta \bar{G},$ 所以

\lim _ {\rho \to 0} F (\rho , \theta) = 0.\tag{2.22}

断言

\frac {\partial F}{\partial \rho} = 0.

因为

\begin{array}{r l} & {\frac {\partial}{\partial \rho} F = \frac {\partial}{\partial \rho} \langle \mathbb {X} _ {\rho}, \mathbb {X} _ {\theta} \rangle = \langle \mathbb {X} _ {\rho \rho}, \mathbb {X} _ {\theta} \rangle + \langle \mathbb {X} _ {\rho}, \mathbb {X} _ {\theta \rho} \rangle} \\ & {\qquad = \langle \mathbb {X} _ {\rho \rho}, \mathbb {X} _ {\theta} \rangle + \frac {1}{2} \frac {\partial}{\partial \theta} \langle \mathbb {X} _ {\rho}, \mathbb {X} _ {\rho} \rangle} \\ & {\qquad = \langle \gamma_ {v} ^ {\prime \prime} (\rho), \mathbb {X} _ {\theta} \rangle = \left\langle \frac {D \gamma_ {v} ^ {\prime} (\rho)}{d t}, \mathbb {X} _ {\theta} \right\rangle = 0 (\gamma_ {v} \text {是测地线}).} \end{array}

这就表明 F 和 $\rho$ 无关，由 (2.22) 式知 $F \equiv 0$ 。

例题 2.14（等距方位投影）有一种绘制地图的方法叫作等距方位投影，它可以保留距中心点的距离和方向。其实就是利用了中心点指数映射的“逆映射”. 联合国徽章中的地图图案就采用了以北极点为中心的等距方位投影世界地图。

下面给出测地极坐标的两个应用。第一个应用是证明测地线的局部极短性。

定理 2.9 假设 $\exp_{p}: B_{\delta}(0) \subset T_{p}S \to S$ 是到像的微分同胚，记 $V = \exp_{p}(B_{\delta}(0))$ 。对于给定的 $q \in V$ ，记连接 p, q 的径向测地线为 $\gamma$ ，则对于任意连接 p, q 的逐段光滑曲线 $\tilde{\gamma}$ ，有

\operatorname{length} (\tilde {\gamma}) \geqslant \operatorname{length} (\gamma),

并且等号取到当且仅当 $\tilde{\gamma}$ 是 $\gamma$ 的一个重新参数化。

证明首先，设 $q = \exp_p(v)$ ，则 $\gamma_v(t), t \in [0,1]$ 就是连接 $p, q$ 的径向测地线。设 $|v| = l$ ，则 $\operatorname{length}(\gamma) = l < \delta$ 。我们分两种情况来证明。

情况一：Image( $\tilde{\gamma}$ ) ⊂ V.

由于 $\mathbb{X} = \exp_p:B_\delta (0)\to V$ 是一个微分同胚，可以假定 $\tilde{\gamma}$ 在测地极坐标下形如：

\tilde {\gamma} (t) = \mathbb {X} (\rho (t), \theta (t)), \quad t \in [ 0, d ].

由于 $\tilde{\gamma}(d)=q,$ 所以 $\rho(d)=l.$

于是

\begin{array}{r l} \mathrm{length} (\tilde {\gamma}) & = \int_ {0} ^ {d} | \tilde {\gamma} ^ {\prime} (t) | \mathrm{d} t = \int_ {0} ^ {d} | \mathbb {X} _ {\rho} \rho^ {\prime} + \mathbb {X} _ {\theta} \theta^ {\prime} | \mathrm{d} t \\ & = \int_ {0} ^ {d} \sqrt {(\mathbb {X} _ {\rho} \rho^ {\prime} + \mathbb {X} _ {\theta} \theta^ {\prime}) \cdot (\mathbb {X} _ {\rho} \rho^ {\prime} + \mathbb {X} _ {\theta} \theta^ {\prime})} \mathrm{d} t \\ & = \int_ {0} ^ {d} \sqrt {\rho^ {\prime 2} + G \theta^ {\prime 2}} \mathrm{d} t \geqslant \int_ {0} ^ {d} \sqrt {\rho^ {\prime 2}} \mathrm{d} t \\ & = \int_ {0} ^ {d} | \rho^ {\prime} | \mathrm{d} t \geqslant \left| \int_ {0} ^ {d} \rho^ {\prime} \mathrm{d} t \right| \\ & = | \rho (d) - \rho (0) | \\ & = l = \mathrm{length} (\gamma). \end{array}

追溯等号成立情况，易知等号成立时， $\tilde{\gamma}$ 不过是 $\gamma$ 的一个重新参数化。

情况二：如果 $\tilde{\gamma}$ 的轨迹没有完全落在 V 内。这种情况 $\tilde{\gamma}$ 显然更长了，因为 $\tilde{\gamma}$ 第一次离开 V 的那段长度已经至少大于等于 $\delta$ 了。

看完证明的读者可以想一想平面上证明两点之间直线段最短是不是也需要这个做法？测地极坐标的第二个应用是常曲率曲面的局部分类。

定理 2.10 (Minding) 具有相同常 Gauss 曲率的两个正则光滑曲面是局部等距的。

证明我们的目标是在两个曲面上找到两个共享定义域的局部参数化 $\mathbb{X}_1, \mathbb{X}_2$ 使得它们的第一基本形式系数相同。为此我们在测地极坐标下考察 Gauss 曲率方程。首先回忆引理 2.2，

E \equiv 1, \quad F \equiv 0, \quad G > 0, \quad \lim _ {\rho \to 0} \sqrt {G} = 0, \quad \lim _ {\rho \to 0} (\sqrt {G}) _ {\rho} = 1.

Gauss方程此时为

K = - \frac {(\sqrt {G}) _ {\rho \rho}}{\sqrt {G}}.\tag{2.23}

对于给定的 $\theta, (2.23)$ 式可以看作 $\sqrt{G}$ 关于变量 $\rho$ 的常微分方程，且满足初值条件

\lim _ {\rho \to 0} \sqrt {G} = 0, \quad \lim _ {\rho \to 0} (\sqrt {G}) _ {\rho} = 1.

这样就有解

\sqrt {G} (\theta , \rho) = \left\{ \begin{array}{l l} {{ \frac {1}{\sqrt {K}} \sin (\sqrt {K} \rho),}} & {{K > 0,}} \\ {{\rho ,}} & {{K = 0,}} \\ {{ \frac {1}{\sqrt {- K}} \sinh (\sqrt {- K} \rho),}} & {{K < 0.}} \end{array} \right.

\mathrm{in}

显见解和 $\theta$ 无关，完全由 $K$ 决定，所以两个 Gauss 曲率均为常数 $K$ 的曲面在测地极坐标下的第一基本形式系数 $G$ 相同，因此必局部等距。

注从上述解的形式来看，当 $K \leqslant 0$ 时， $G$ 在 $\rho \in (0, \infty)$ 上都有定义。当 $K > 0$ 时，为了保证 $G > 0$ ， $G$ 只在 $\rho \in \left(0, \frac{\pi}{\sqrt{K}}\right)$ 上有定义，这些定义域实际上就是常 Gauss 曲率曲面上每点测地极坐标的最大定义域。我们在后面完备常 Gauss 曲率曲面的分类中要用到这个事实。

2.6 测地完备、Hopf-Rinow 定理

回想指数映射，一个不尽如人意的地方就是先验地来说它只在切空间原点的一个邻域内有定义。在这节中，我们讨论什么时候指数映射可以定义在整个切空间上，这牵涉到曲面的完备性，背后是著名的 Hopf-Rinow 定理。

定义 2.13（测地完备）如果正则光滑曲面 S 上任一测地线 $\gamma: (-\varepsilon, \varepsilon) \to S$ 的定义域都可以延拓成 R，则该曲面称为测地完备的。

例题 2.15（一个不测地完备的曲面） $S = R^{2} \setminus \{0\}$ 。

上例虽然比较人为，但是体现了完备性的另一面，即实际上测地完备性和度量空间的完备性是有关的。利用测地距离，我们可以在正则光滑曲面 $S$ 上引入一个度量，使之成为度量空间，进而可以谈论其关于度量的完备性。

定义 2.14（测地距离诱导的度量）设 S 为一正则光滑曲面， $\forall p, q \in S$ ，它们之间的距离定义为

d (p, q) = \inf \{\mathrm{length} (\gamma) | \gamma \text {是一条连接} p, q \text {的分段光滑曲线} \}.\tag{2.24}

命题 2.14 $(S,d)$ 是一个度量空间。

先回忆一下度量空间的定义。集合 $X$ 上的一个二元函数 $d: \mathbb{X} \times \mathbb{X} \to \mathbb{R}$ 如果满足：

(1) （正定性） $d(x, y) \geqslant 0$ ，等号成立当且仅当 $x = y$ ；

(2) （对称性） $d(x,y)=d(y,x)$ ；

(3) （三角不等式） $d(x, y) + d(y, z) \geqslant d(x, z)$ ，

则被称为 $X$ 上的一个度量。二元组 $(X, d)$ 合称为一度量空间。

命题 2.14的证明 下面来证明 (2.24) 式定义的函数满足上述三条。

对称性：显然。

三角不等式：任取连接 x 和 y 的分段光滑曲线 $\gamma_{1}$ 以及连接 y 和 z 的分段光滑曲线 $\gamma_{2}$ ，自然将 $\gamma_{1}$ 接续 $\gamma_{2}$ 视为连接 x 和 z 的一条分段光滑曲线，记为 $\gamma = \gamma_{1} \sqcup_{y} \gamma_{2}$ 。显然有

d (x, z) \leqslant \operatorname{length} (\gamma) = \operatorname{length} (\gamma_ {1}) + \operatorname{length} (\gamma_ {2}).

右端关于所有可能的 $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ 取下确界，即得三角不等式。

正定性：非负性显然。还需证 $d(x,y)=0 \Rightarrow x=y$ 。用反证法，如果 $x \neq y$ ，易知存在充分小的 $\delta$ ，使得

(i) $\exp_x(B_\delta(0)) \cap \{y\} = \varnothing$ ；

(ii) $\exp_x: B_\delta(0) \to S$ 是一个到像的微分同胚。

根据定理 2.9 知 $d(x,y) \geqslant \delta$ 。矛盾。

在度量空间 $(X,d)$ 中，以 p 为心，r 为半径的度量开球记为

B _ {r} (p) = \{q \in X | d (p, q) < r \}.

命题 2.15 若 $\exp_{p}: B_{\delta}(0) \to S$ 为到像的微分同胚，则

B _ {\delta} (p) = \exp_ {p} (B _ {\delta} (0)).

证明任取 $q \in \exp_p(B_\delta(0))$ ，根据定理2.9，从 $p$ 到 $q$ 的径向测地线实现了 $p, q$ 之间的距离，所以 $d(p, q) < \delta$ ，即 $q \in B_\delta(p)$ 。

反之，若 $q \notin \exp_p(B_\delta(0))$ ，则任一连接 $p, q$ 的分段光滑曲线，在其第一次离开 $\exp_p(B_\delta(0))$ 时，长度至少为 $\delta$ ，即 $d(p, q) \geqslant \delta$ ，所以 $q \notin B_\delta(p)$ 。

定理 2.11 (Hopf-Rinow) 设 S 为一正则光滑曲面，则下述四个论述等价：

(1) $p \in S, \exp_p$ 在整个 $T_{p}S$ 上有定义；

(2) $S$ 的任一有界闭子集是紧致的；

(3) $(S, d)$ 是一个完备的度量空间；

(4) $S$ 是测地完备的。

并且任意一条可以推出：

(5) $\forall p, q \in S$ ，存在连接 $p, q$ 的最短测地线 $\gamma$ ，即 $\operatorname{length}(\gamma) = d(p, q)$ 。

为了证明 Hopf-Rinow 定理，我们需要下述事实。

命题 2.16 如果 $\gamma$ 为连接 p, q 的最短测地线，则 $\gamma$ 一定是光滑曲线，也就是没有分段。

根据定理 2.9，如果 $\exp_{p}: B_{\delta}(0) \to S$ 是到像的微分同胚，则对于任意 $q \in V = \exp_{p}(B_{\delta}(0))$ ，连接 p, q 的径向测地线是连接两者的唯一最短测地线。下面的命题将这个性质传播到 p 的一个邻域中。

命题 2.17 设 $S$ 为正则光滑曲面，则对 $\forall p \in S$ ，存在一个邻域 $W$ ，以及 $\delta > 0$ ，使得 $\forall q \in W$ ， $\exp_q: B_\delta(0) \to S$ 都是到像的微分同胚，且 $\exp_q(B_\delta(0)) \supset W$ 。因此任意 $p, q \in W$ ，都存在唯一的最短测地线相连。

证明根据测地线方程 (2.9) 关于初值的光滑依赖性，任给 $p \in S$ ，存在正数 $\varepsilon, \varepsilon_1$ ，使得 $\exp_q: T_qS \to S$ 对任意 $q \in B_\varepsilon(p), v \in B_{\epsilon_1}(0) \subset T_qS$ 是有定义的。令

\mathcal {V} = \{(q, v) | q \in B _ {\varepsilon} (p), v \in B _ {\varepsilon_ {1}} (0) \subset T _ {q} S \},

考虑可微映射

\varphi : \mathcal {V} \to S \times S

(q, v) \mapsto (q, \exp_ {q} (v)).

计算 $\varphi$ 在 $(p,0)$ 处的切映射。为此考虑两种类型的曲线：

t \mapsto (p, t w), \quad t \mapsto (\alpha (t), 0),

其中 $w \in T_pS, \alpha(0) = p$ 。由于 $\varphi(p, tw) = (p, \exp_p(tw))$ ，所以

\mathrm{d} \varphi_ {(p, 0)} (0, w) = (0, w).

由于 $\varphi (\alpha (t),0) = (\alpha (t),\exp_{\alpha (t)}(0))$ ，所以

\mathrm{d} \varphi_ {(p, 0)} (\alpha^ {\prime} (0), 0) = (\alpha^ {\prime} (0), \alpha^ {\prime} (0)).

由 $w, \alpha'(0)$ 的任意性可知 $d\varphi$ 在 $(p,0)$ 处是非退化的。根据反函数定理，存在 $(p,0) \in \mathcal{V}$ 的邻域 $V \times B_{\delta}(0)$ 以及 $(p,p) \in S \times S$ 的邻域 $\mathcal{U}$ ，使得 $\varphi: V \times B_{\delta}(0) \to \mathcal{U}$ 是一个微分同胚。根据 $\varphi$ 的定义， $\varphi(p,\cdot): B_{\delta} \to S$ 均为到像的微分同胚。更进一步可取 $p$ 的邻域 $W$ ，满足 $W \times W \subset \mathcal{U}$ ，这样对 $q \in W$ ，就有

\varphi (q \times B _ {\delta} (0)) \supset q \times W,

即 $\exp_{q}(B_{\delta}(0))\supset W.$

命题 2.16的证明 如果 $\gamma$ 是分段光滑的，设 $t_{0}$ 为 $\gamma$ 的折点，也就是说 $\gamma'(t_{0}-)\neq\gamma'(t_{0}+)$ ，在 $\gamma(t_{0})$ 处取命题 2.17 给出的邻域 W，对于充分小的 $\varepsilon, \gamma(t_{0}\pm\varepsilon)\in W$ 。连接 $\gamma(t_{0}-\varepsilon)$ 和 $\gamma(t_{0}+\varepsilon)$ 的最短测地线是唯一的，且没有折点，这和 $\gamma$ 本身是最短测地线矛盾。

定理2.11的证明 我们先来证明 $(1) \Rightarrow (5)$ ：设 $d(p, q) = l (l > 0)$ 。根据定理2.8，存在 $\delta > 0$ 使得 $\exp_p: \overline{B_\delta(0)} \to S$ 是到像的微分同胚。若 $l \leqslant \delta$ ，根据定理2.9知连接 $p, q$ 的径向测地线即为所求。

下面考虑 $l > \delta$ 的情况。记

\exp_ {p} (\partial B _ {\delta} (0)) = S _ {\delta} (p).

断言

\exists x \in S _ {\delta} (p), \text {使得} d (x, q) = \min _ {y \in S _ {\delta} (p)} d (y, q).

实际上注意到：

– $d(\cdot, q)$ 是一个连续函数；

– $S_{\delta}(p)$ 是一个紧致集合，

上述断言就不证自明了。

设 $\exp_p^{-1}(x) = \delta v$ ，其中 $v \in T_pS$ 是某个单位向量。根据条件 (1)， $\gamma_v(t)$ 是定义在整个实数上的 (这是我们唯一用到条件 (1) 的地方)。我们将证明 $\gamma_v(l) = q$ 。这样 $\gamma_v$ 就是实现 $p, q$ 间距离的最短测地线。

为此我们采用一个非常经典的开闭性论证。

引入集合

A = \{t \in [ 0, l ] | d (\gamma_ {v} (t), q) = l - t \}.\tag{2.25}

我们将说明 $A = [0,l]$ ，这样就有 $d(\gamma_v(l),q) = 0$ ，也就是 $\gamma_v(l) = q$ 。

为此我们将说明集合 A 是一个非空既开又闭的集合。

(1) 非空性： $\{0\} \in A \Rightarrow A \neq \varnothing$ 。

(2) 闭性： $d(\gamma_v(t), q)$ 是关于 $t$ 的连续函数，满足 (2.25) 式的 $t$ 是某个连续函数的水平集，所以是一个闭集。

(3) 开性：我们将证明如果 $t_0 \in A$ ，则存在 $\delta' > 0$ ，使得 $t_0 + \delta' \in A$ 。（实际上我们会证明 $(t_0, t_0 + \delta'] \subset A$ .）

记 $\gamma_v(t_0) = p_0$ 。同理存在 $\delta' > 0$ ，使得 $\exp_{p_0}: \overline{B_{\delta'}(0)} \to S$ 是一个到像的微分同胚。记 $S_{\delta'}(p') = \exp_{p_0}(\partial B_{\delta'}(0))$ 。类似地，存在 $y \in S_{\delta'}(p_0)$ ，使得

d (y, q) = \min _ {z \in S _ {\delta^ {\prime}} (p ^ {\prime})} d (z, q).

根据距离的定义，易知 $d(p_0, q) = \delta' + d(y, q)$ 。由于 $p_0 = \gamma_v(t_0), t_0 \in A$ ，所以 $d(p_0, q) = l - t_0$ 。结合上式我们有

d (y, q) = l - t _ {0} - \delta^ {\prime}.

根据三角不等式，有 $d(p,y) + d(y,q) \geqslant d(p,q)$ ，所以 $d(p,y) \geqslant t_0 + \delta'$ 。

另一方面，设 $\tilde{\gamma}$ 为 $\gamma|_{[0,t_{0}+\delta^{\prime}]}$ 接续上从 $p_{0}$ 到 y 的径向测地线，我们发现

d (p, y) \leqslant \operatorname{length} (\tilde {\gamma}) = t _ {0} + \delta^ {\prime},

所以 $d(p,y) = t_0 + \delta'$ ，且被 $\tilde{\gamma}$ 的长度实现。这样一来，根据命题2.16， $\tilde{\gamma}$ 必为光滑曲线，也就是说 $p_0$ 到 $y$ 的径向测地线只不过是 $\gamma_v$ 的延续。所以 $\gamma_v(t_0 + \delta') = y$ ，亦即 $t_0 + \delta' \in A$ 。下面我们证(1)~(4)之间的等价性。

(1) $\Longrightarrow$ (2)：任取 $S$ 上的一个有界闭集 $\Omega$ ，这样就有 $r > 0$ 使得 $\Omega \subset B_r(p) \Longrightarrow \Omega \subset \overline{B_r(p)}$ 。

断言

\overline {{B _ {r} (p)}} \subset \exp_ {p} (\overline {{B _ {r} (0)}}).

任取 $q \in \overline{B_r(q)}$ ，则 $d(p, q) \leqslant r$ 。根据 e)，存在连接 $p, q$ 的极短测地线 $\gamma$ 。这样就存在单位向量 $v \in T_pS$ 使得

q = \gamma_ {v} (d (p, q)) = \gamma_ {d (p, q) v} (1) \in \exp_ {p} (\overline {{B _ {r} (0)}}).

回忆拓扑学中的两个事实：

事实一：连续映射将紧集映为紧集；

事实二：若 B 为紧集，则其任一闭子集也是紧集。根据事实一， $\overline{B_{r}(p)}$ 是紧集；再由事实二知 $\Omega$ 也是紧集。

(2) $\Longrightarrow$ (3)：设 $\{q_n\}$ 为 $(S, d)$ 上的一串 Cauchy 列 $(\forall \varepsilon > 0, \exists N$ 使得当 $n, m \geqslant N$ 时有 $d(q_n, q_m) \leqslant \varepsilon$ 。

$\{q_{n}\}$ 有界是显然的。根据 (b)， $\{q_{n}\}$ 的闭包是一个紧集，所以存在收敛的子序列，而由于这个序列本身是 Cauchy 列，所以有收敛的子序列意味着整个序列收敛。

(3) $\Longrightarrow$ (4)：设 $\forall \gamma : (-\varepsilon, \varepsilon) \to S$ 为一条测地线，不妨假设 $(- \varepsilon, \varepsilon)$ 为其极大存在区间，我们将证明可以得到 $\gamma$ 的一个延拓。

取 $t_n \to \varepsilon$ 。不失一般性，我们假定 $\gamma$ 是以弧长为参数，显然 $d(\gamma(t_n), \gamma(t_m)) \leqslant |t_n - t_m|$ 。所以 $\{\gamma(t_n)\}$ 是一个 Cauchy 列。由 (c) 知，存在 $q \in S$ ，使得

\lim _ {n \to \infty} \gamma (t _ {n}) = q.

我们补充定义 $\gamma (\varepsilon) = q$ ，再根据测地线的局部存在唯一性，可以将 $\gamma$ 延拓至 $t = \varepsilon$ 的一个开邻域内，和极大存在区间矛盾。

(4) $\Longrightarrow$ (1) 是显然的。

2.7 抽象曲面

至此我们已发展了很多内蕴几何的概念，由于内蕴几何的核心是研究只依赖于第一基本形式的概念，所以这些研究并不关心曲面在三维空间中的具体呈现方式。换言之，只要一个集合有类似于正则光滑曲面局部可参数化的性质，就不需要置于外围空间，而可以“身临其境”地研究其内蕴几何。这种集合称为抽象曲面，其本质上就是二维流形。我们会在第三章详细展开介绍一般维数流形的理论。

定义 2.15（抽象曲面）设 S 为一个拓扑空间。如果每点 $p \in S$ ，都存在其开邻域 U，以及一个同胚映射 $\varphi$ 将 U 映为 $R^{2}$ 中的一个开集 $\varphi(U)$ ，则称 S 为一个抽象曲面。称 $\varphi^{-1}: \varphi(U) \subset \mathbb{R}^{2} \to S$ 为 p 点的一个局部参数化（坐标卡）。如果 S 上任意两个局部参数化 $(U, \varphi), (V, \psi)$ ，若 $U \cap V \neq \varnothing$ ，就有

\psi \circ \varphi^ {- 1}: \varphi (U \cap V) \rightarrow \psi (U \cap V), \quad \varphi \circ \psi^ {- 1}: \psi (U \cap V) \rightarrow \varphi (U \cap V)

为光滑映射，则称 $S$ 为一光滑曲面。 $\psi \circ \varphi^{-1}, \varphi \circ \psi^{-1}$ 称为局部参数化间的转移函数。

例题 2.16（一类平凡的例子）之前讨论的作为欧氏空间子集的正则光滑曲面 $S \subset \mathbb{R}^3$ 都是抽象曲面，其上的拓扑为欧氏标准拓扑诱导的子空间拓扑。

例题 2.17（射影平面） $S^{2}$ 是一个拓扑空间，局部欧氏，在其上引入等价关系 $x \sim y$ 当且仅当 x = -y. $S^{2}$ 在此等价关系下的商空间就被称为射影平面，记为 $R P^{2}$ ，其拓扑为商拓扑。容易发现它是局部欧氏的，所以是一个抽象曲面。

例题 2.18（Klein 瓶）设 T 是将 yz 平面中圆周 $(y-2)^{2}+z^{2}=1$ 绕 z 轴旋转一圈所得的环面，其上引入等价关系 $x\sim y$ 当且仅当 x=-y. T 在此等价关系下的商空间是一个抽象曲面，称为 Klein 瓶。

Klein 瓶其实是由两个 Möbius 带沿着边界黏合而成，数学家 Leo Moser 有诗云：

A mathematician named Klein
Thought the Möbius band was divine。
Said he: “If you glue
The edges of two,
You’ll get a weird bottle like mine.”

在光滑曲面上，根据转移函数的光滑性，可以合理定义 S 上的函数的光滑性。

定义 2.16（光滑函数）设 S 为一抽象光滑曲面。给定函数 $f: S \to R$ ，如果对任意的局部参数化 $(U, \varphi)$ ， $f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \to \mathbb{R}$ 是光滑的，则称 f 为 S 上的光滑函数. S 上光滑函数的全体记为 $C^{\infty}(S)$ 。

定义 2.17（光滑映射）设 $S_{1}, S_{2}$ 为抽象光滑曲面，映射 $f: S_{1} \to S_{2}$ ，如果满足对任意 $S_{1}$ 的局部参数化 $(U, \varphi)$ 以及 $S_{2}$ 的局部参数化 $(V, \psi)$ ，有 $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(U) \to \psi(V)$

是光滑的，则称 $f$ 为光滑映射。 $f$ 如果存在光滑的逆映射 $f^{-1}: S_2 \to S_1$ ，则称 $f$ 为 $S_1$ 和 $S_2$ 之间的一个微分同胚。

因为抽象光滑曲面没有以三维空间的子集面貌出现，所以这时谈论切空间就不那么直观。但是三维空间中的切向量其实可以以一个算子的方式作用在曲面上的函数，该作用实际上是取“方向导数”，我们将这种“方向导数”的性质提炼出来作为抽象光滑曲面上切向量的定义方式。

定义 2.18（切向量）映射 $v: C^{\infty}(S) \to \mathbb{R}$ 如果满足：

(1) （线性） $v(f+g)=v(f)+v(g), v(af)=av(f), \forall f, g\in C^{\infty}(S), a\in\mathbb{R};$

v (f g) = f (p) v (g) + v (f) g (p), \forall f, g \in C ^ {\infty} (S),

则称其为 S 在 p 点处的一个切向量，p 点处所有切向量的全体记为 $T_{p}S$ ，称为 p 点的切空间。

例题 2.19（切向量在局部参数化的表现）对于 $p \in S$ ，选定其邻域的一个局部参数化 $(U, \varphi)$ ，记为

\varphi (q) = (x (q), y (q)), \quad q \in U.

不失一般性，我们假定 $\varphi(p) = (0, 0)$ 。对于任意光滑函数 $f \in C^{\infty}(S)$ ，可以引入两个算子 $\partial_x, \partial_y$ ：

\partial_ {x} (f) = \frac {\partial}{\partial x} f \circ \varphi^ {- 1} \bigg | _ {(0, 0)}, \quad \partial_ {y} (f) = \frac {\partial}{\partial y} f \circ \varphi^ {- 1} \bigg | _ {(0, 0)}.

可以验证它们满足切向量的两个条件。并且对于任意 $v \in T_pS$ ，可以证明

v = v (x \circ \varphi) \partial_ {x} + v (y \circ \varphi) \partial_ {y}.

因此 $T_{p}S$ 是一个二维线性空间，且对于给定的局部参数化 $(U, \varphi, x, y)$ 而言，

T _ {p} S = \operatorname{span} \{\partial_ {x}, \partial_ {y} \}.

例题 2.20（切映射）设 $f: S_{1} \rightarrow S_{2}$ 为一光滑映射，其在 p 点的切映射

T _ {p} S _ {1} \ni v \mapsto \mathrm{d} f _ {p} (v) \in T _ {f (p)} S _ {2}

为一线性映射，满足

\mathrm{d} f _ {p} (v) (\varphi) = v (f \circ \varphi), \quad \forall \varphi \in C ^ {\infty} (S _ {2}).

在抽象曲面上有了切空间，内蕴几何研究的场景就万事具备，只欠度量了。

定义 2.19（Riemann 曲面）设 S 为一抽象曲面，若以光滑的方式在其每点切空间指定一个内积 $g_{p}: T_{p}S \times T_{p}S \rightarrow R$ ，就称 g 为该抽象曲面上的一个度量，而 $(S, g)$ 称为 Riemann 曲面。

下面解释定义2.19中出现的文字：以光滑的方式。 $S$ 作为一抽象曲面，任给 $p$ 点附近的局部坐标卡， $(U, \varphi, x, y)$ ，则有 $T_q S = \text{span}(\partial_x |_q, \partial_y |_q)$ ，这样内积 $g_q$ 在这组基下就等价于对称正定 $2 \times 2$ 矩阵：

\left( \begin{array}{c c} g _ {q} (\partial_ {x}, \partial_ {x}) & g _ {q} (\partial_ {x}, \partial_ {y}) \\ g _ {q} (\partial_ {y}, \partial_ {x}) & g _ {q} (\partial_ {y}, \partial_ {y}) \end{array} \right)

所谓以光滑的方式指定，就是指

q \mapsto \left( \begin{array}{c c} g (q) (\partial_ {x}, \partial_ {x}) & g (q) (\partial_ {x}, \partial_ {y}) \\ g (q) (\partial_ {y}, \partial_ {x}) & g (q) (\partial_ {y}, \partial_ {y}) \end{array} \right) \quad (q \in U)

是一个取值为 $2 \times 2$ 对称正定矩阵的光滑映射。由于转移函数都是光滑的，所以上述光滑性和局部坐标卡的选取无关。当然还有一个实际问题摆在眼前：这种光滑指定的方式是否存在？如果一个抽象曲面具有一个整体的参数化，那么很容易构造其上的光滑度量；如果抽象曲面不具有整体参数化，那么我们可以将局部参数化下定义的度量“光滑拼接”起来，这是流形上构造整体对象的一个基本方法，还需要单位分解这个工具（参见附录 A.3）。总之我们会在第三章详细体会这个做法。这里请读者姑且相信抽象曲面上光滑度量是存在的，并且实际上是充分多的。

定义 2.20（度量的拉回）设 $f: S_{1} \rightarrow S_{2}$ 为一光滑映射且 $(\mathrm{df})_{p}$ 处处非退化，若 g 为 $S_{2}$ 上一光滑度量，可在 $T_{p}S_{1}$ 上引入内积 $\langle,\rangle$ ，满足

\langle u, v \rangle_ {p} := g _ {f (p)} (\mathrm{d} f _ {p} (u), \mathrm{d} f _ {p} (v)), \quad \forall u, v \in T _ {p} S _ {1}.

按此方式得到了 $S_{1}$ 上的一个光滑度量，称为 g 的拉回度量，记为 $f^{*}(g)$ 。

定义 2.21（等距同构）设 $(S_{1}, g_{1}), (S_{2}, g_{2})$ 为两个 Riemann 曲面，如果存在微分同胚 $f: S_{1} \rightarrow S_{2}$ ，满足 $f^{*}(g_{2}) = g_{1}$ ，则称 f 为等距同构。如果 $S_{1}, S_{2}$ 之间存在等距同构，就称它们为等距同构的。

有了这些概念准备，就可以在抽象 Riemann 曲面上开展内蕴几何的研究。下面介绍二维双曲空间，并求出其上的测地线。

例题 2.21（双曲空间的平面模型） $S_{1} = R^{2}$ 即为通常的二维欧氏空间。其坐标记为 $(u, v)$ ，则

T _ {p} S = \mathrm{span} \{\partial_ {u}, \partial_ {v} \}.

现引入度量 $g_{1}$ ，使得

E = g _ {1} (\partial_ {u}, \partial_ {u}) \equiv 1, F = g _ {1} (\partial_ {u}, \partial_ {v}) \equiv 0, G = g _ {1} (\partial_ {v}, \partial_ {v}) = \mathrm{e} ^ {2 u}.

很显然这样就定义了一个 Riemann 曲面 $(S_{1}, g_{1})$ 该 Riemann 曲面称为双曲空间。利用 Gauss 公式，可以计算得 Gauss 曲率 $K \equiv -1$ 。

例题 2.22（双曲空间的上半平面模型） $S_{2} = R_{+}^{2}$ 。其坐标记为 $(x, y)$ ，引入度量 $g_{2}$ ，使得

E = g _ {2} (\partial_ {x}, \partial_ {x}) = \frac {1}{y ^ {2}}, \quad F = g _ {2} (\partial_ {x}, \partial_ {y}) \equiv 0, \quad G = g _ {2} (\partial_ {y}, \partial_ {y}) = \frac {1}{y ^ {2}}.

可以证明 $(S_{2}, g_{2})$ 同构于双曲空间（见本章习题34），称之为双曲空间的上半平面模型。

例题 2.23 求出双曲空间中所有的测地线。

解根据双曲空间的平面模型，由于 E = 1, F = 0，所以 v = 常数，是测地线（类似测地极坐标中的径向测地线）。为了得到其他的测地线，我们在上半平面模型中做一个变量代换：

x - x _ {0} = \rho \cos \theta , y = \rho \sin \theta .

这样在 $(\rho, \theta)$ 坐标下的第一基本形式为

\left\langle \frac {\partial}{\partial \rho}, \frac {\partial}{\partial \rho} \right\rangle = \frac {1}{\rho^ {2} \sin^ {2} \theta}, \quad \left\langle \frac {\partial}{\partial \rho}, \frac {\partial}{\partial \theta} \right\rangle = 0, \quad \left\langle \frac {\partial}{\partial \theta}, \frac {\partial}{\partial \theta} \right\rangle = \frac {1}{\sin^ {2} \theta}.

再做一个简单的变换

\rho_ {1} = \rho , \quad \theta_ {1} = \int_ {0} ^ {\theta} \frac {1}{\sin \theta} \mathrm{d} \theta ,

就有

\left\langle \frac {\partial}{\partial \rho_ {1}}, \frac {\partial}{\partial \rho_ {1}} \right\rangle = \frac {1}{\rho_ {1} ^ {2} \sin^ {2} \theta}, \quad \left\langle \frac {\partial}{\partial \rho_ {1}}, \frac {\partial}{\partial \theta_ {1}} \right\rangle = 0, \quad \left\langle \frac {\partial}{\partial \theta_ {1}}, \frac {\partial}{\partial \theta_ {1}} \right\rangle = 1.

由于 $F = 0, G = 1$ ，同理知 $\rho_{1} = \rho =$ 常数是测地线。注意到 $v =$ 常数在上半平面里对应的是竖直的线， $\rho =$ 常数是以 $(x_{0},0)$ 为心的半圆周。这些就是双曲空间中所有的测地线。因为过上半平面任一点及任一方向，或存在唯一竖直线，或存在唯一的半圆周。在双曲空间的上半平面模型里，将连接两点的测地线称为“直线”，就得到了Euclid第五公设（平行公设）不成立的几何模型。这就是历史上由Bolyai, Lobachevsky, Gauss独立发展出来的非欧几何。

例题 2.24（平坦环面）设 $m, n$ 为两个整数，定义 $T_{m,n}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 为 $T_{m,n}(x,y) = (x + m,y + n)$ 。如果存在 $m, n \in \mathbb{Z}$ 使得 $(x_1,y_1) = T_{m,n}(x,y)$ ，则称 $(x_1,y_1)$ 和 $(x,y)$ 等价。 $\mathbb{R}^2$ 在这个等价关系下形成的商空间记为 $\mathbb{T}^2$ ，容易验证 $\mathbb{T}^2$ 是一个抽象曲面，事实上由于 $\mathbb{T}^2$ 可以看成是将单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 黏合对边得到的，所以 $\mathbb{T}^2$ 同胚于一个环面。

记 $\pi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{T}^2$ 为商映射，我们想在 $\mathbb{T}^2$ 上引入一个内积。很显然 $\pi$ 是一个局部微分同胚，联想到 $\mathbb{R}^2$ 上有个自然的内积，所以可以试图将这个内积搬到 $\mathbb{T}^2$ 上。这有点像度量拉回的反向操作，一般来说有个问题，因为若 $q = \pi(p_1) = \pi(p_2)$ ，那么 $T_q\mathbb{T}^2$ 上的内积应该由 $T_{p_1}\mathbb{R}^2$ 上的内积还是 $T_{p_2}\mathbb{R}^2$ 的内积诱导呢？现取 $T_{m,n}(p_1) = p_2$ ，由于 $T_{m,n}$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的等距同构，所以对于 $u, v \in T_q\mathbb{T}^2$ ，如果定义

\langle u, v \rangle_ {q} = \langle \mathrm{d} \pi_ {p _ {i}} ^ {- 1} (u), \mathrm{d} \pi_ {p _ {i}} ^ {- 1} (v) \rangle_ {p _ {i}},

那么上式右端对 $i = 1$ 和 $i = 2$ 是相同的，这样就可以没有歧义地在 $T_{q} \mathbb{T}^{2}$ 上引入内积 $g$ ，使得 $(\mathbb{T}^{2}, g)$ 构成一个抽象 Riemann 曲面。在这个诱导度量下， $\pi$ 是一个局部等距同构，所以称 $(\mathbb{T}^{2}, g)$ 为平坦环面。

*2.8 常曲率空间分类

本节我们将介绍常曲率空间的分类，可以分两种情形：一、内蕴分类，亦即分类具有常 Gauss 曲率的抽象 Riemann 曲面；二、外蕴分类，分类 $\mathbb{R}^3$ 中的具常 Gauss 曲率或者常平均曲率的完备正则光滑曲面。

2.8.1 内蕴分类

定理 2.12（内蕴 K = 常数）设 $(S, g)$ 为一完备 Riemann 曲面，其 Gauss 曲率为常数（通过伸缩变换，总可以假定 $K \equiv 1, 0, -1$ ）。若 S 为单连通，则其必等距于下述之一：

(1) 单位圆球面 $\mathbb{S}^2(1), K \equiv 1$ ；

(2) 平坦欧氏空间 $\mathbb{R}^2, K \equiv 0$ ；

(3) 双曲平面 $\mathbb{H}^2, K \equiv -1$ 。

注如果 $S$ 上任何闭曲线可以连续形变收缩成一点，就称 $S$ 是单连通的。详细的定义参见附录 B.4.

若 $(S, g)$ 为一 Gauss 曲率为常数的完备抽象 Riemann 曲面，则存在一个唯一的单连通 Riemann 曲面 $\tilde{S}$ ，称为 $S$ 的万有覆盖空间。可以通过覆盖映射 $\pi: \tilde{S} \to S$ 将 $S$ 上的度量 $g$ 拉回到 $\tilde{S}$ 上，拉回度量记为 $\tilde{g}$ 。 $\pi$ 是关于度量 $g, \tilde{g}$ 的局部等距同构，并且可以证明 $\tilde{g}$ 也是完备的（见本章习题 39）。这样 $(\tilde{S}, \tilde{g})$ 就是单连通的 Gauss 曲率为常数的完备 Riemann 曲面，所以根据上述定理，可得：

定理 2.13 若 $(S,g)$ 为一Gauss曲率为常数 $(K\equiv 1, - 1,0)$ 的完备Riemann曲面，则其万有覆盖 $\tilde{S}$ 带拉回度量一定等距同构于单位圆球面、平坦欧氏空间、双曲平面三者之一。

下表列出一些 Gauss 曲率为常数的 Riemann 曲面。

	单连通	非单连通
$K \equiv 1$	$\mathbb{S}^{2}$	$\mathbb{RP}^{2}$ (实射影平面)
$K \equiv 0$	$\mathbb{R}^{2}$	平坦环面,Klein瓶, $\mathbb{S}^{1} \times \mathbb{R}$ (柱面)等
$K \equiv -1$	$\mathbb{H}^{2}$	亏格 $\geqslant 2$ 的双曲闭曲面等

为证明常曲率曲面的分类，我们需要下述两个引理。第一个引理是说，局部等距由映射在一点的值和其切映射唯一决定。

引理 2.3 设 $f, g: (S_{1}, g_{1}) \to (S_{2}, g_{2})$ 为两个局部等距，设 $f(p) = g(p)$ ， $df_{p} = dg_{p}$ ，如果 $S_{1}$ 连通，则有 $f \equiv g$ 。

证明令

A = \{x \in S _ {1} | f (x) = g (x), \mathrm{d} f _ {x} = \mathrm{d} g _ {x} \}.

由于 $p \in A$ ，所以 $A$ 非空。根据 $A$ 的定义，易知其为一个闭集。断言： $A$ 是一个开集。注意，如果 $\exp_p(v)$ 是有定义的，则 $t \to \exp_p(tv)$ 是一条测地线，由于局部等距把测地线映为测地线。因此 $t \to f(\exp_p(tv))$ 是一条测地线，其初始切向量为

\left. \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \right| _ {t = 0} f (\exp_ {p} (t v)) = \mathrm{d} f _ {p} \left(\left. \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \right| _ {t = 0} \exp_ {p} (t v)\right) = \mathrm{d} f _ {p} (v).

再根据测地线关于初值的存在唯一性知，

f (\exp_ {p} (t v)) = \exp_ {f (p)} (t \mathrm{d} f _ {p} (v)),

取 $t = 1$ 得

f \circ \exp_ {p} (v) = \exp_ {f (p)} (\mathrm{d} f _ {p} (v)).\tag{2.26}

若 $x \in A$ ，如果 $\exp_x(v)$ 是有定义的，则

\begin{array}{r l} f \circ \exp_ {x} (v) & = \exp_ {f (x)} (\mathrm{d} f _ {x} (v)) \\ & = \exp_ {g (x)} (\mathrm{d} g _ {x} (v)) \\ & = g \circ \exp_ {x} (v). \end{array}\tag{2.27}

由于 $\exp_x$ 会映满 $x$ 的一个邻域，(2.27) 式就表明这个邻域中的点都属于 $A$ 。所以 $A$ 是一个开集，引理得证。

我们给出覆盖映射的定义，更多细节读者可参见附录 B.5.

定义 2.22 设 $\pi: \bar{X} \mapsto X$ 为两个拓扑空间之间的连续满射，如果 $\forall p \in X$ ，存在一个邻域 $U_p$ ，使得在 $\bar{X}$ 上有一族互不相交的开集 $V_\alpha$ ，满足

\pi^ {- 1} (U _ {p}) = \cup_ {\alpha} V _ {\alpha},

且 $\pi$ 在每个 $V_{\alpha}$ 上的限制都是到 $U_{p}$ 的同胚，则称 $\pi$ 为一个覆盖映射。

引理 2.4 若 $f:(S_{1},g_{1})\to(S_{2},g_{2})$ 为一局部等距，如果 $S_{1}$ 是完备的， $S_{2}$ 是连通的，则 f 是一个覆盖映射。

证明取定 $q \in S_2$ ，我们可以假定 $\exp_q: B_0(\varepsilon) \mapsto B_q(\varepsilon)$ 是一个微分同胚。断言：

f ^ {- 1} (B _ {q} (\varepsilon)) = \bigcup_ {f (p) = q} B _ {p} (\varepsilon).

实际上，任取 $p \in f^{-1}(q)$ ，由于 $S_{1}$ 是完备的，所以 $\exp_p: B_0(\varepsilon) \mapsto B_p(\varepsilon)$ 是有定义的。因为 $\mathrm{d}f_p: B_0(\varepsilon) \subset T_pS_1 \mapsto B_0(\varepsilon) \subset T_qS_2$ 是一个同构，结合 (2.26) 式知 $\exp_p: B_0(\varepsilon) \mapsto B_p(\varepsilon)$ 和 $f: B_p(\varepsilon) \mapsto B_q(\varepsilon)$ 均为微分同胚。这说明了 $f^{-1}(B_q(\varepsilon)) \supset \bigcup_{f(p)=q} B_p(\varepsilon)$ 。

另一方面，任取 $x \in f^{-1}(B_q(\epsilon))$ ，设 $\gamma(t): t \in [0,1]$ 为连接 $q$ 和 $f(x) \in B_q(\varepsilon)$ 的径向测地线。由于 $S_1$ 是完备的，存在测地线 $\sigma: [0,1] \mapsto S_1$ ，满足

\sigma (1) = x, \quad \mathrm{d} f _ {x} (\sigma^ {\prime} (1)) = \gamma^ {\prime} (1).

这样 $f\circ \sigma$ 是一条 $S_{2}$ 中的测地线，满足

f \circ \sigma (1) = f (x), \quad (f \circ \sigma) ^ {\prime} (1) = \gamma^ {\prime} (1),

根据测地线的存在唯一性知， $f \circ \sigma(t) \equiv \gamma(t)$ 。于是 $f \circ \sigma(0) = q$ ，这样 $x \in B_{\sigma(0)}(\varepsilon)$ 。

最后还需要证明 $f$ 必为满射。显见 $f(S_{1}) \subset S_{2}$ 为开集，为证满射性，我们需证 $f(S_{1})$ 为闭集。设有序列 $f(p_{k})$ 在 $S_{2}$ 上收敛到 $q$ ，根据命题2.17知，存在 $q$ 的邻域 $W$ 以及 $\delta > 0$ ，使得对于任意 $q' \in W$ ， $\exp_{q'}$ 在 $B_{0}(\delta)$ 上是到像的微分同胚，且 $\exp_{q'}(B_{0}(\delta)) \supset W$ ，于是对于充分大的 $k$ ， $q \in W \subset \exp_{f(p_{k})}(B_{0}(\delta))$ ，由前述论证知 $q$ 在 $f$ 的像集中，满射性得证。

定理 2.12的证明 方便起见，记 $\mathbb{S}_{k}^{2}(k=\pm1,0)$ 为单位圆球面、平坦欧氏空间、双曲平面三者之一。现设 $(S,g)$ 为一 Gauss 曲率为常数 $(K\equiv\pm1,0)$ 的完备抽象 Riemann 曲面。根据定理 2.10，及其后的注记，存在一个常数 r>0，使得对任意 $p\in S,q\in S_{k}^{2}, B_{p}(r)\subset S$ 是等距于 $B_{q}(r)\subset\mathbb{S}_{k}^{2}$ 的。

我们将定义一个局部等距映射 $f: S \to \mathbb{S}_k^2$ ，并证明它其实是一个整体微分同胚。

首先取定两个基点 $p \in S, q \in \mathbb{S}_k^2$ ，以及一个等距同构 $L: T_pS \to T_q\mathbb{S}_k^2$ ，那么根据引理2.3，满足 $f: B_p(r) \mapsto B_q(r)$ ，且 $\mathrm{df}_p = L$ 的局部等距是唯一的。从该点出发我们按解析延拓的想法将 $f$ 延拓到整个 $S$ 上。具体来说，设 $x \in S$ 是另一点，可以取 $\gamma$ 为连接 $p, x$ 的一条分段光滑曲线，我们可以用有限多个球 $B_{p_i}(r)$ 覆盖 $\gamma$ ，满足

B _ {p _ {1}} (r) = B _ {p} (r), \quad B _ {p _ {i}} (r) \cap B _ {p _ {i + 1}} (r) \neq \varnothing .

注意到如果 $f_{i}: B_{p_{i}}(r) \to \mathbb{S}_{k}^{2}$ 是有明确定义，由于 $B_{p_{i}}(r) \cap B_{p_{i+1}}(r) \neq \emptyset$ ，根据引理2.3，可以得到一个唯一的局部等距

f _ {i + 1}: B _ {p _ {i + 1}} (r) \to \mathbb {S} _ {k} ^ {2}

满足

f _ {i} (x) = f _ {i + 1} (x), \quad x \in B _ {p _ {i}} (r) \cap B _ {p _ {i + 1}} (r).

因为 $f_{1} = f:B_{p}(r)\mapsto B_{q}(r)$ 是有明确定义的，通过上述观察我们可以递归地唯一定义出 $f$ 在 $x$ 的值。

下面简要说明 $f(x)$ 和曲线 $\gamma$ 的选取以及覆盖 $\{B_{p_i}(r)\}$ 是无关的。这本质上都是基于引理2.3，也就是局部等距映射的刚性。将曲线 $\gamma : [0, l] \to S$ 由两个不同覆盖而产生的延拓分别记为 $f$ 和 $g$ ，可以按照引理2.3的方式设 $A = \{t \in [0, l] | f(\gamma(t)) = g(\gamma(t)), \mathrm{d}f_{\gamma(t)} = \mathrm{d}g_{\gamma(t)}\}$ ，并按开闭性论证方式证明 $A = [0, l]$ 。此外设 $\overline{\gamma}$ 是另一条连接 $p$ 和 $x$ 的分段光滑曲线，如果它和 $\gamma$ 靠的比较近使得 $\{B_{p_i}(r)\}$ 仍然覆盖了 $\overline{\gamma}$ ，那么 $f(x)$ 的值唯一确定。进而实际上只要 $\gamma$ 和 $\overline{\gamma}$ 是同伦的分段光滑曲线， $f(x)$ 的值就是唯一的。最后由于 $S$ 是单连通的，任意两条连接 $p, x$ 的分段光滑曲线都是同伦的，所以 $f(x)$ 的值是固定的。如此我们确实得到了一个整体良定的局部等距映射 $f: S \to \mathbb{S}_k^2$ ，再根据引理2.4， $f$ 为一个覆盖映射，由于 $\mathbb{S}_k^2$ 也是单连通的，所以 $f$ 其实是一个微分同胚，这样就说明 $S$ 是等距同构于 $\mathbb{S}_k^2$ 的。

2.8.2 外蕴分类：常 Gauss 曲率曲面

下面我们转向外蕴分类。首先如果 $S \subset \mathbb{R}^3$ 是一个完备的正则光滑曲面，并具有常 Gauss 曲率，那么内蕴地来看我们已经知道他们的万有覆盖必等距于单位圆球面、欧氏平面、双曲平面之一，所以现在的分类某种意义上是上述这些曲面在欧氏空间中的呈现。

严格的数学定义如下：

定义 2.23（浸入）设 S 为一抽象曲面，对于映射 $f: S \rightarrow R^{3}$ ，如果切映射 $(\mathrm{d}f)_{p}$ 对每点 p 都是单射，则称 f 为一浸入。

定义 2.24 如果浸入映射 $f: S \rightarrow R^{3}$ 是到像的同胚，则被称为嵌入。

定义 2.25（等距嵌入）设 $(S,g)$ 为一 Riemann 曲面，如果光滑映射 $f:(S,g)\to\mathbb{R}^{3}$ 是一个浸入（嵌入），并且局部等距，则称 f 为一等距浸入（嵌入）。

下面这个定理说明了 Gauss 曲率为正常数的完备曲面在欧氏空间的呈现方式只有一种，即为圆球面。该定理体现了球面的刚性。

定理 2.14 (Liebmann) 设 $S \subset R^{3}$ 为一紧致无边光滑曲面，如果其 Gauss 曲率为常数，则 S 必等距于一个圆球面。

定理的证明依赖于下述引理。

引理 2.5 设 $S$ 为一正则光滑曲面，约定两个主曲率满足 $k_{1} \geqslant k_{2}$ ，若有一点 $p \in S$ 满足：

(1) $K(p) > 0$ ；

(2) $k_{1}(p)$ 取得局部极大值，且 $k_{2}(p)$ 取到局部极小值，

则必有 $k_{1}(p)=k_{2}(p)$ 。

定理 2.14的证明 我们先承认引理 2.5 来证明 Liebmann 定理。首先注意到 K = 常数 > 0. 这是因为 S 是封闭曲面，所以一定存在椭圆点（见第一章习题 48）。

显见 $k_{1}, k_{2}$ 为 $S$ 上的连续函数，由于 $S$ 是紧致曲面，所以一定存在 $p \in S$ 使得 $k_{1}$ 在 $p$ 处取到整体最大值。由于 $K = k_{1}k_{2} =$ 常数， $k_{2}$ 也必然在 $p$ 处取到了整体最小值。所以根据引理2.5， $k_{1}(p) = k_{2}(p)$ 。但是对于任意 $q \in S$ ，有

k _ {1} (p) \geqslant k _ {1} (q) \geqslant k _ {2} (q) \geqslant k _ {2} (p).

如此，所有点都是全脐点。根据例题 1.16, S 必等距于球面。

现在我们给出引理2.5的证明。

引理2.5的证明 用反证法，如果 $k_{1}(p) > k_{2}(p)$ ，根据附录中推论A.1，可以找到 $p$ 点附近的局部参数化，使得 $F \equiv f \equiv 0$ 。不失一般性，设 $k_{1} = e / E, k_{2} = g / G$ 。

在此参数化下，Codazzi 方程可以表为

e _ {v} = \frac {E _ {v}}{2} (k _ {1} + k _ {2}),\tag{2.28}

g _ {u} = \frac {G _ {u}}{2} (k _ {1} + k _ {2}).\tag{2.29}

而 Gauss 方程为

K = - \frac {1}{2 \sqrt {E G}} \left(\left(\frac {E _ {v}}{\sqrt {E G}}\right) _ {v} + \left(\frac {G _ {u}}{\sqrt {E G}}\right) _ {u}\right).\tag{2.30}

由于 $e = k_{1}E$ ，所以 $e_v = (k_1)_vE + k_1E_v$ ，将此式代入(2.28)式得

E (k _ {1}) _ {v} = \frac {E _ {v}}{2} (- k _ {1} + k _ {2}).\tag{2.31}

类似地，

G (k _ {2}) _ {u} = \frac {G _ {u}}{2} (k _ {1} - k _ {2}).\tag{2.32}

由于 $k_{1}, k_{2}$ 分别是局部极大和极小值，就有

(1) $(k_{1})_{u}(p) = (k_{1})_{v}(p) = (k_{2})_{u}(p) = (k_{2})_{v}(p) = 0;$

(2) $(k_{1})_{uu}(p) \leqslant 0, (k_{1})_{vv}(p) \leqslant 0;$

(3) $(k_{2})_{uu}(p)\geqslant 0,(k_{2})_{vv}(p)\geqslant 0.$

加之 $k_{1}(p) \neq k_{2}(p)$ ，所以有 $E_{v}(p) = G_{u}(p) = 0$ 。

\frac {\partial}{\partial v} (2. 3 1) \implies E (k _ {1}) _ {v v} + E _ {v} (k _ {1}) _ {v} = \frac {E _ {v v}}{2} (- k _ {1} + k _ {2}) + \frac {E _ {v}}{2} (- k _ {1} + k _ {2}) _ {v},

所以 $E_{vv}(p) \geqslant 0.$

\frac {\partial}{\partial u} (2. 3 2) \implies G (k _ {2}) _ {u u} + G _ {u} (k _ {2}) _ {u} = \frac {G _ {u u}}{2} (k _ {1} - k _ {2}) + \frac {G _ {u}}{2} (k _ {1} - k _ {2}) _ {u},

所以 $G_{uu}(p) \geqslant 0.$

展开 (2.30) 式，有

- 2 \sqrt {E G} K = \frac {E _ {v v}}{\sqrt {E G}} + \frac {G _ {u u}}{\sqrt {E G}} + C \cdot E _ {v} + D \cdot G _ {u}.\tag{2.33}

这里 C, D 两项的表达式具体是多少不重要，因为要在 p 点取值，而 $E_{v}(p) = G_{u}(p) = 0$ 。如此便发现上式左端严格小于零，而上式右端非负。矛盾。

Liebmann 定理的出发点预设了曲面 $S$ 是紧致无边的。为了分类正的常 Gauss 曲率曲面，下节中的 Bonnet 定理告诉我们该曲面必是紧致无边的。所以综合起来就有

定理 2.15 设 $S \subset R^{3}$ 为 Gauss 曲率恒为 1 的完备正则光滑曲面，则 S 一定等距于单位圆球面。

Gauss 曲率为零的“呈现”方式就比较柔性了。事实上，已经知道两个明显的实例：平面和圆柱面都是 Gauss 曲率为零的完备曲面。另外可以将圆柱面展开成“竖立的屏风状”的曲面，如在 $\mathbb{R}^3$ 中考虑 $y = \sin x$ ，显然这种曲面也是 Gauss 曲率恒为零的。严格来说如果曲面上过每点 $p$ 存在唯一的直线 $l_p$ ，并且当 $p \neq q$ ， $l_p$ 和 $l_q$ 或者平行或者重合，我们称该曲面为广义柱面。下面的定理说明上述例子就是三维欧氏空间中所有 Gauss 曲率为零的完备曲面了。

定理 2.16 设 $S \subset \mathbb{R}^3$ 为一Gauss曲率恒为零的完备曲面，则 $S$ 必为一平面或广义柱面。

上述定理最早由 Pogorelov 于 1956 年给出，它也包含在 Hartman-Nirenberg 定理（1959 年）的一个推论中。其后 Massey 和 Stoker 分别给出了更加直接和初等的证明。下面给出证明的梗概。

由于 $K \equiv 0, S$ 上的点只有两类：平点和抛物点。记平点集为 $P$ ，抛物点集为 $U$ 。易知 $P$ 是一个闭集， $U$ 是一个开集。记 $\operatorname{Bd}(U)$ 为 $U$ 在 $S$ 上的边界点， $\operatorname{Bd}(P)$ 为 $P$ 在 $S$ 上的边界点，易知 $\operatorname{Bd}(U) = \operatorname{Bd}(P)$ 。

定义 2.26 如果曲面 S 上的正则曲线 $\alpha$ 满足 $\Pi_{\alpha(s)}(\alpha'(s)) \equiv 0$ ，则称其为一渐近线。

命题 2.18 $\forall p \in U,$ 过其的渐近线 r 必为直线段。

证明任取 $p \in U$ ，由于 $p$ 是一个抛物点，亦即有一个主曲率 $\lambda_1 = 0$ ，另一个主曲率 $\lambda_2 \neq 0$ ，所以存在 $p$ 点附近的局部参数化 $\mathbb{X}$ 使得其坐标曲线就是曲率线，而对应于主曲率为零的曲率线就是渐近线。不妨设 $v =$ 常数为渐近线。这样沿着 $v =$ 常数， $(\mathrm{d}n)(\mathbb{X}_u) = n_u = \lambda_1\mathbb{X}_u = 0$ 。这样沿着 $v = v_0$ 的曲线，法向量 $n$ 为常向量，不妨记为 $n = n_0$ 。由于在这个参数化的每点都经过 $v =$ 常数的曲线，所以 $n_u \equiv 0$ 。这样

(\mathbb {X} \cdot n) _ {u} = \mathbb {X} _ {u} \cdot n + \mathbb {X} \cdot n _ {u} = 0,

所以

超值

\mathbb {X} \cdot n = \varphi (v).\tag{2.34}

上式关于 $v$ 求偏导有

\mathbb {X} \cdot n _ {v} = \varphi^ {\prime} (v).\tag{2.35}

再者 $(n_v)_u = n_{uv} = 0$ ，说明 $n_v$ 在 $v = v_0$ 的曲线上也是常数，不妨记为 $n_v = n_{v0}$ 。注意到 $(\mathrm{dn})(X_v) = n_v = \lambda_2\mathbb{X}_v \neq 0$ 。（2.34）式表明曲线 $\mathbb{X}(u, v_0)$ 落在以 $n_0$ 为法向量的平面内，(2.35）式表明曲线 $\mathbb{X}(u, v_0)$ 落在以 $n_{v0}$ 为法向量的平面内，显然 $n_0$ 和 $n_{v0}$ 是线性无关的，所以 $\mathbb{X}(u, v_0)$ 是直线段。

命题 2.19 设 r 为过 $p \in U$ 的最大渐近线，则 $r \cap P = \varnothing$ 。

上述命题基于下述引理。

引理 2.6 设 $r(s)$ 为一条以弧长为参数过 $p \in U$ 的渐近线，沿着该渐近线的平均曲率记为 $H(s)$ ，则

{\frac {\mathrm{d} ^ {2}}{\mathrm{d} s ^ {2}}} \left({\frac {1}{H (s)}}\right) = 0.

证明首先在 $p$ 点附近引入局部参数化 $\mathbb{X}$ 使得坐标线就是曲率线 $(F = f = 0)$ 。假定 $v =$ 常数对应渐近线，这样 $e = 0$ 。所以平均曲率可表为

H = \frac {1}{2} \left(\frac {e}{E} + \frac {g}{G}\right) = \frac {g}{2 G}.

在此特殊参数化下Codazzi方程(2.6)可以简化为

0 = \frac {1}{2} \frac {g E _ {v}}{G}, \quad g _ {u} = \frac {1}{2} \frac {g G _ {u}}{G}.\tag{2.36}

从 (2.36) 式的第一个式子知 $E = E(u)$ 只是关于 $u$ 的函数，这样通过参数变换

\bar {u} = \int \sqrt {E (u)} d u, \quad \bar {v} = v,

就有在此坐标下 $E = 1$ 。简单起见，仍然记 $(\bar{u}, \bar{v})$ 为 $(u, v)$ 。根据 Gauss 公式（注意此时 $E = 1, F = 0$ ），有

K = - \frac {1}{\sqrt {G}} (\sqrt {G}) _ {u u} = 0,

所以

\sqrt {G} = c _ {1} (v) u + c _ {2} (v).

现可将 (2.36) 的第二式写为

\frac {g _ {u}}{g} = \frac {1}{2} \frac {G _ {u}}{G} = \frac {\sqrt {G} _ {u}}{\sqrt {G}},

g = c _ {3} (v) \sqrt {G}.

这样

\frac {1}{H} = 2 \frac {c _ {1} (v) u + c _ {2} (v)}{c _ {3} (v)}.

由于此参数化下 s = u，所以命题得证。

命题2.19的证明 假设 $r \cap P \neq \emptyset$ ，则必存在 $s_0$ ，使得 $r(s_0) = p_0 \in P$ ，且对 $s < s_0, r(s) \in U$ 。但是根据引理2.6知

H (s) = \frac {1}{a s + b}.\tag{2.37}

由于 $r(s_0)\in P$ ，所以应有

\lim _ {s \to s _ {0}} H (s) = 0,

显然和 (2.37) 式矛盾。

记 $\mathrm{Bd}(U)$ 为 U 在 S 上的边界点，易知 $\mathrm{Bd}(U)=\mathrm{Bd}(P)$ 。

最后为了证明定理 2.16 还需要下述命题，证明从略（读者可参阅 [2] 5.8 节）。

命题 2.20 对任意 $p \in \mathrm{Bd}(U)$ ，过 p 存在唯一的开线段 $C(p)$ 满足 $C(p) \subset \mathrm{Bd}(U)$ 。

定理 2.16的证明 现假定 S 不是一个平面，所以 $U \neq \varnothing$ 。记 $\operatorname{Int}(P)$ 为 P 的内点，那么 $\operatorname{Int}(P)$ 中的点都是全脐点，所以每个 $\operatorname{Int}(P)$ 的连通分支都落在某个平面内。

要证明过 $\forall q \in S \setminus \operatorname{Int}(P)$ ，存在唯一的直线 $R(q) \subset S$ ，且这样的直线或者重合或者不相交。

情形一 $q \in U$ 。实际上， $R(q)$ 就是过 $q$ 的极大渐近线。由于渐近线是直线段，自然是 $S$ 上的测地线，根据完备性知该渐近线可以无限延伸，命题2.19保证 $R(q) \subset U$ 。如果 $q' \neq q \in U$ ，则 $R(q') \cap R(q) = \varnothing$ 。不然两条直线的交点处两个不同的渐近方向，这和交点属于 $U$ 矛盾。

情形二 $q \in \mathrm{Bd}(U)$ 。此时 $R(q)$ 就是由命题2.20给出的 $C(p)$ 之延伸。理由同上。

下面证明这些直线都是平行的。设 $q \in U \cup \mathrm{Bd}(U), p \in U$ 。因为 $S$ 是连通的，所以存在一条曲线 $\alpha: [0, l] \to S$ ，连接 $p, q$ ，亦即 $\alpha(0) = p, \alpha(l) = q$ 。 $\exp_p: T_pS \mapsto S$ 是一个覆盖映射且局部等距（见定理2.24中的证明）。记 $\tilde{\alpha}: [0, l] \mapsto T_pS$ 为 $\alpha$ 的提升，满足 $\tilde{\alpha}(0) = 0$ 。这样 $\alpha(t) = \exp_p(\tilde{\alpha}(t))$ ，记 $r_t$ 为 $R(\alpha(t))$ 的提升，满足 $r_t(0) = \tilde{\alpha}(t)$ 。根据局部等距的性质知， $r_t$ 都是 $T_pS$ 里的直线。如果 $r_{t_1} \cap r_{t_2} \neq \emptyset$ ，则 $R(\alpha(t_1))$ 和 $R(\alpha(t_2))$ 也有交点，矛盾。所以对不同的 $t, r_t$ 在 $T_pS$ 上彼此平行，再由局部等距知 $R(\alpha(t))$ 也彼此平行，这样每个 $\operatorname{Int}(P)$ 的连通分支就是某平面中夹在两个平行直线间的带状区域。

至此我们完成了证明。

Gauss 曲率为负常数的完备曲面已经没有办法在 $\mathbb{R}^3$ 中呈现了. Hilbert 于 1901 年证明了下述定理。

定理 2.17 (Hilbert)

不存在双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的等距浸入。

该定理的证明用到了以下引理（证明从略，读者可参阅 [2] 5.11 节）。

引理 2.7 如果存在双曲空间到三维欧氏空间的等距浸入 $i: \mathbb{H}^2 \to \mathbb{R}^3$ ，则存在一个整体参数化 $\mathbb{X}: \mathbb{R}^2 \to i(\mathbb{H}^2)$ ，使得坐标曲线是渐近线，且该参数化构成一个Tchebyshef网。

注如果一个局部参数化的任意四条坐标曲线 $u = u_{i}, v = v_{i}, i = 1,2$ 围成的四边形对边相等，则称该参数化为一个Tchebyshef网。

定理 2.17的证明 根据引理 2.7，存在 Tchebyshef 网参数化 X. 根据第一章的习题 35，可以通过一个坐标变换使其第一基本形式系数为 E = G = 1， $F = \cos \theta$ 。此时 Gauss 方程告知

K = - \frac {\theta_ {u v}}{\sin \theta} = - 1 \Rightarrow \sin \theta = \theta_ {u v}.

这样由坐标曲线 $u = u_{i}, v = v_{i}, i = 1,2$ 围成的四边形 $R$ 的面积是

\begin{array}{r l} \mathrm{Area} (R) & = \int_ {v _ {1}} ^ {v _ {2}} \int_ {u _ {1}} ^ {u _ {2}} \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} u \mathrm{d} v = \int_ {v _ {1}} ^ {v _ {2}} \int_ {u _ {1}} ^ {u _ {2}} \theta_ {u v} \mathrm{d} u \mathrm{d} v \\ & = \theta (u _ {1}, v _ {1}) - \theta (u _ {2}, v _ {1}) + \theta (u _ {2}, v _ {2}) - \theta (u _ {1}, v _ {2}) \\ & = \alpha_ {1} + \alpha_ {3} - (\pi - \alpha_ {2}) - (\pi - \alpha_ {4}) \\ & = \sum_ {i = 1} ^ {4} \alpha_ {i} - 2 \pi < 2 \pi . \end{array}\tag{2.38}

由于该计算对任意坐标曲线围成的四边形成立，加之 X 是一个整体参数化，就和双曲空间总面积无限矛盾。

2.8.3 外蕴分类：常平均曲率曲面

下面考虑平均曲率为常数的正则光滑曲面分类。平均曲率恒为零的曲面叫作极小曲面， $\mathbb{R}^3$ 中存在大量完备非紧极小曲面。根据比较原理，可知一个紧致曲面一定具有椭圆点，该点的平均曲率肯定非零，所以有

命题 2.21 $R^{3}$ 中不存在紧致无边的极小曲面。

类似地， $\mathbb{R}^3$ 中存在大量完备非紧且平均曲率为非零常数的曲面。关于紧致无边的常平均曲率曲面，最早由 Hopf[11] 证明了

定理 2.18 (Hopf) 同胚于球面的常平均曲率曲面一定等距同构于圆球面。

其后，Aleksandrov $^{[1]}$ 证明了

定理 2.19 (Aleksandrov) $R^{3}$ 紧致无边的常平均曲率曲面 S 一定等距同构于圆球面。

Aleksandrov 在证明中提出了一个有趣的“移动平面法”。该方法后来在微分几何、偏微分方程中有关对称性的研究中大放异彩，成为一个很重要的工具。该方法的技术核心是建立各种形式的强极大值原理。

先给出两个基于强极值原理的关键引理，由于证明超出本书要讨论的范围，请读者参阅 [8].

引理 2.8 设 f, g 为定义在 $B_{1}(0)$ 上的两个光滑函数，满足 $f(x) \geqslant g(x)$ ， $f(0) = g(0)$ ，且

\operatorname{div} \frac {\nabla f (x)}{\sqrt {1 + | \nabla f (x) | ^ {2}}} = \operatorname{div} \frac {\nabla g (x)}{\sqrt {1 + | \nabla g (x) | ^ {2}}}, \quad \forall x \in B _ {1} (0),

则 $f(x) \equiv g(x)$ 。

引理 2.9 设 $f, g$ 为 $B_{1}^{+}(0)$ 上的两个光滑函数，满足 $f(x) \geqslant g(x), f(0) = g(0), \frac{\partial f}{\partial \nu}(0) = \frac{\partial g}{\partial \nu}(0)$ ，且

\operatorname{div} \frac {\nabla f (x)}{\sqrt {1 + | \nabla f (x) | ^ {2}}} = \operatorname{div} \frac {\nabla g (x)}{\sqrt {1 + | \nabla g (x) | ^ {2}}}, \quad \forall x \in B _ {1} ^ {+} (0),

则 $f(x) \equiv g(x)$ 。

定理2.19的证明 首先我们给出一些记号，设 $S$ 为平均曲率为常数 $H$ 的紧致无边正则光滑曲面，其围成的区域记为 $\Omega$ 。令 $\Sigma_{t} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | z = t\}$ 为 $z$ 轴坐标为 $t$ 的平面，

\Omega_ {t} ^ {\pm} := \{(x, y, z) \in \Omega | z > (< ) t \}

为 $\Omega$ 分居 $\Sigma_{t}$ 两侧的区域。令 $\widehat{\Omega}_{t}^{+}$ 为 $\Omega_{t}^{+}$ 关于 $\Sigma_{t}$ 的反射。

对于充分大的 $t$ ，显然 $\Sigma_t \cap S = \varnothing$ 。沿着 $z$ 轴负方向移动平面，并考虑包含关系

\widehat {\Omega_ {t} ^ {+}} \subset \Omega_ {t} ^ {-}.

T _ {0} = \inf \{t | \widehat {\Omega_ {t} ^ {+}} \subset \Omega_ {t} ^ {-} \}.

简单的几何直观和连续性告诉我们，在 $t = T_{0}$ 这个临界平面（ $\widehat{\Omega_{t}^{+}}$ 将出未出之际），

$\partial \widehat{\Omega_{T_0}^+}$ 和 $\partial \Omega_{T_0}^{-}$ 有相切点。

这个相切点分两种情况：

情况一：有位于在平面 $\Sigma_{T_0}$ 以下的相切点．任取一个这样的相切点 $p\in \partial \widehat{\Omega_{T_0}^+}\cap$ $\partial \Omega_T^-$ 。局部上，我们可以分别视 $\partial \widehat{\Omega_{T_0}^+},\partial \Omega_T^-$ 为 $T_{p}S$ 上 $p$ 点附近定义的两个光滑函数的图像。这两个光滑函数恰满足引理2.8的条件，其中

\operatorname{div} \frac {\nabla f (x)}{\sqrt {1 + | \nabla f (x) | ^ {2}}} = \operatorname{div} \frac {\nabla g (x)}{\sqrt {1 + | \nabla g (x) | ^ {2}}},

是由于函数图像对应曲面的平均曲率恰为 $H = \mathrm{div}\frac{\nabla f}{\sqrt{1 + |\nabla f|^2}}$ 于是根据引理2.8，我们知 $\partial \widehat{\Omega_{T_0}^+}$ 和 $\partial \Omega_T^-$ 在 $p$ 点附近完全吻合。

情况二：所有的相切点位于平面 $\Sigma_{T_0}$ 上．此时任取一个相切点 $p\in \partial \widehat{\Omega_{T_0}^+}\cap \partial \Omega_{T_0}^{-}$ 局部上，我们可以分别视 $\partial \widehat{\Omega_{T_0}^+},\partial \Omega_T^-$ 为 $T_{p}S$ 上 $p$ 点附近定义的两个光滑函数的图像。而这两个光滑函数恰满足引理2.9的条件，所以 $\partial \widehat{\Omega_{T_0}^+}$ 和 $\partial \Omega_T^-$ 在 $p$ 点附近也完全吻合

上述讨论说明无论何种情况，相切点集是一个开集，而根据连续性，相切点集自然是一个闭集，所以有

\widehat {\partial \Omega_ {T _ {0}} ^ {+}} = \partial \Omega_ {T _ {0}} ^ {-},

换句话说 $S$ 关于平面 $\Omega_{T_0}$ 反射对称。由于我们可以随意选择坐标系，所以这个反射对称性关于任何方向都成立，这样 $S$ 就必须是一个圆球面了。

*2.9 带符号曲率曲面简介

本节我们介绍一些带符号曲率和曲面拓扑之间的关系，这也是高维 Riemann 几何的一大研究主题。

2.9.1 正曲率：Bonnet 定理

这节我们利用弧长变分公式研究 Gauss 曲率有正下界的完备曲面。

定理 2.20 (Bonnet) 若完备 Riemann 曲面 $(S, g)$ 的 Gauss 曲率满足 $K \geqslant \delta > 0$ ，则 S 紧致无边，且其直径满足

\operatorname{diam} (S) \leqslant \frac {\pi}{\sqrt {\delta}}.

注对于度量空间 $(S, d)$ 而言，其直径被定义为

\operatorname{diam} (S) = \sup _ {x, y \in S} d (x, y).

抽象 Riemann 曲面的度量空间结构由其度量决定（见定义 2.14）。

定义 2.27（变分）设 $\alpha:[0,l]\rightarrow S$ 是 S 上以弧长为参数的正则光滑曲线，光滑映射 $h:[0,l]\times(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow S$ 如果满足

h (s, 0) = \alpha (s), \quad s \in [ 0, l ],

则称其为 $\alpha$ 的一个变分。如果

h (0, t) = \alpha (0), \quad t (l, t) = \alpha (l), \quad \forall t \in (- \varepsilon , \varepsilon),

则称 $h$ 为一个定端变分。对于一个变分 $h$ ，

V (s) = \frac {\partial h}{\partial t} (s, 0), \quad s \in [ 0, l ]

为沿着 $\alpha$ 的一个向量场，被称为变分向量场。显然对于定端变分，有 $V(0) = V(l) = 0$ 。

实际上，我们可以视映射 $h$ 为以 $t$ 为参数的一族曲线， $h_t(s) = h(s,t): [0,l] \to S$ 。当 $t = 0$ 时， $h_0$ 即为 $\alpha$ 。考虑这族曲线的长度

L (t) = \int_ {0} ^ {l} \left| \frac {\partial h}{\partial s} (s, t) \right| \mathrm{d} s, \quad t \in (- \varepsilon , \varepsilon).

命题 2.22（第一变分公式）设 $h: [0, l] \times (-\varepsilon, \varepsilon) \to S$ 为曲线 $\alpha(s)$ 的一个定端变分，V 为变分向量场，长度泛函 L 如上，记 $A(s) = \frac{\mathrm{D}\alpha'(s)}{\mathrm{d}s}$ 为曲线 $\alpha$ 的切向量场沿着 $\alpha$ 的协变导数，则

L ^ {\prime} (0) = - \int_ {0} ^ {l} \langle A (s), V (s) \rangle \mathrm{d} s.\tag{2.39}

证明首先注意到如果 $w(t), v(t)$ 是曲面 $S$ 上沿着曲线 $\alpha$ 的向量场，则

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \langle v (t), w (t) \rangle = \left\langle \frac {\mathrm{D} v (t)}{\mathrm{d} t}, w (t) \right\rangle + \left\langle v (t), \frac {\mathrm{D} w (t)}{\mathrm{d} t} \right\rangle .

其次，对于一个光滑映射 $h: [0, l] \times (-\varepsilon, \varepsilon) \to S$ ，有

\frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t} (s, t) = \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial s} (s, t).

所以

L ^ {\prime} (t) = \int_ {0} ^ {l} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left\langle \frac {\partial h}{\partial s}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle^ {1 / 2} \mathrm{d} s

= \int_ {l} ^ {0} \frac {\left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial s} , \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle}{\left| \frac {\partial h}{\partial s} \right|} \mathrm{d} s = \int_ {0} ^ {l} \frac {\left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t} , \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle}{\left| \frac {\partial h}{\partial s} \right|} \mathrm{d} s.

在上式中取 t = 0，就得到

L ^ {\prime} (0) = \int_ {0} ^ {l} \left\langle \frac {\mathrm{D} V (s)}{\mathrm{d} s}, \frac {\partial h}{\partial s} (s, 0) \right\rangle \mathrm{d} s = - \int_ {0} ^ {l} \left\langle V (s), \frac {\mathrm{D} \alpha^ {\prime} (s)}{\mathrm{d} s} \right\rangle \mathrm{d} s.

对于给定的曲线 $\alpha$ ，令 $\alpha(0) = p, \alpha(l) = q$ 。连接 $p, q$ 的分段光滑曲线全体记为 $\Omega_{p,q}$ 。所以任一 $\alpha$ 的定端变分 $h_t, t \in (-\varepsilon, \varepsilon)$ 就可以视为 $\Omega_{p,q}$ 中过 $\alpha$ 的一条曲线，而变分向量场 $V(s)$ 可以视为该曲线在 $\alpha$ 的切向量， $L(t)$ 就是长度泛函在 $h_t$ 上的限制。 $L'(0)$ 可以视为长度泛函沿着 $V(s)$ 的方向导数。如果曲线 $\alpha$ 的任一定端变分都有 $L'(0) = 0$ ，我们就称该曲线是长度泛函 $L$ 的临界点。

下述命题告诉我们总是存在定端变分使得其变分向量场为预先给定的那个，证明留作练习。

命题 2.23 设 $V(s)$ 是沿着 $\alpha(s)$ 的光滑向量场满足 $V(0)=V(l)=0$ ，则一定存在 $\alpha$ 的定端变分 h 使得 $V(s)$ 就是 h 的变分向量场。

根据上述命题以及命题 2.22 可知

推论 2.1 曲线 $\alpha$ 为长度泛函的临界点当且仅当 $\alpha$ 是一条测地线。

从微积分中，我们学到临界点的二阶导数如果非负（非正），该临界点就是一个局部极小（极大）值。所以我们有必要在临界点（测地线）处推导二阶导数。为此，我们需要如下引理：

引理 2.10 设 $\mathbb{X}(u,v)$ 是曲面 $S$ 在 $p$ 点附近的一个局部参数化， $S$ 的Gauss曲率记为 $K$ ，则

\frac {\mathrm{D}}{\partial v} \frac {\mathrm{D}}{\partial u} \mathbb {X} _ {u} - \frac {\mathrm{D}}{\partial u} \frac {\mathrm{D}}{\partial v} \mathbb {X} _ {u} = K (\mathbb {X} _ {u} \wedge \mathbb {X} _ {v}) \wedge \mathbb {X} _ {u}.

证明因为协变导数就是通常导数的切向分量，所以

\frac {\mathrm{D}}{\partial u} \mathbb {X} _ {u} = \Gamma_ {1 1} ^ {1} \mathbb {X} _ {u} + \Gamma_ {1 1} ^ {2} \mathbb {X} _ {v}.

进一步求导并结合结构方程 (2.1)，得到

\begin{array}{r l} \frac {\mathrm{D}}{\partial v} \left(\frac {\mathrm{D}}{\partial u} \mathbb {X} _ {u}\right) & = \left\{\left(\Gamma_ {1 1} ^ {1}\right) _ {v} + \Gamma_ {1 2} ^ {1} \Gamma_ {1 1} ^ {1} + \Gamma_ {2 2} ^ {1} \Gamma_ {1 1} ^ {2} \right\} \mathbb {X} _ {u} \\ & \quad + \left\{\left(\Gamma_ {1 1} ^ {2}\right) _ {v} + \Gamma_ {1 2} ^ {2} \Gamma_ {1 1} ^ {1} + \Gamma_ {2 2} ^ {2} \Gamma_ {1 1} ^ {2} \right\} \mathbb {X} _ {v}. \end{array}

类似地有

\frac {\mathrm{D}}{\partial u} \left(\frac {\mathrm{D}}{\partial v} \mathbb {X} _ {u}\right) = \left\{\left(\Gamma_ {1 2} ^ {1}\right) _ {u} + \Gamma_ {1 2} ^ {1} \Gamma_ {1 1} ^ {1} + \Gamma_ {1 2} ^ {1} \Gamma_ {1 2} ^ {2} \right\} \mathbb {X} _ {u}

+ \left\{\left(\Gamma_ {1 2} ^ {2}\right) _ {u} + \Gamma_ {1 1} ^ {2} \Gamma_ {1 2} ^ {1} + \Gamma_ {1 2} ^ {2} \Gamma_ {1 2} ^ {2} \right\} \mathbb {X} _ {v}.

于是

\begin{array}{r l} & {\frac {\mathrm{D}}{\partial v} \frac {\mathrm{D}}{\partial u} \mathbb {X} _ {u} - \frac {\mathrm{D}}{\partial u} \frac {\mathrm{D}}{\partial v} \mathbb {X} _ {u} = \left\{\left(\Gamma_ {1 1} ^ {1}\right) _ {v} - \left(\Gamma_ {1 2} ^ {1}\right) _ {u} + \Gamma_ {2 2} ^ {1} \Gamma_ {1 1} ^ {2} - \Gamma_ {1 2} ^ {1} \Gamma_ {1 2} ^ {2} \right\} \mathbb {X} _ {u}} \\ & {\qquad + \left\{\left(\Gamma_ {1 1} ^ {2}\right) _ {v} - \left(\Gamma_ {1 2} ^ {2}\right) _ {u} + \Gamma_ {1 2} ^ {2} \Gamma_ {1 1} ^ {1} + \Gamma_ {2 2} ^ {2} \Gamma_ {1 1} ^ {2} - \Gamma_ {1 1} ^ {2} \Gamma_ {1 2} ^ {1} - \Gamma_ {1 2} ^ {2} \Gamma_ {1 2} ^ {2} \right\} \mathbb {X} _ {v}.} \end{array}

利用 Gauss 方程 (2.5) 将上式中的 Christoffel 符号代换，我们得到

\begin{array}{r l} \frac {\mathrm{D}}{\partial v} \frac {\mathrm{D}}{\partial u} \mathbb {X} _ {u} - \frac {\mathrm{D}}{\partial u} \frac {\mathrm{D}}{\partial v} \mathbb {X} _ {u} & = - F K \mathbb {X} _ {u} + E K \mathbb {X} _ {v} \\ & = K \left\{\langle \mathbb {X} _ {u}, \mathbb {X} _ {u} \rangle \mathbb {X} _ {v} - \langle \mathbb {X} _ {u}, \mathbb {X} _ {v} \rangle \mathbb {X} _ {u} \right\} \\ & = K (\mathbb {X} _ {u} \wedge \mathbb {X} _ {v}) \wedge \mathbb {X} _ {u}. \end{array}

从上述引理我们可以类似地得到

引理 2.11 设 $h:[0,l]\times (-\varepsilon ,\varepsilon)\to S$ 是一个光滑映射，令 $V(s,t),(s,t)\in [0,l]\times$ $(- \varepsilon ,\varepsilon)$ 是沿着 $h$ 的一个向量场，则

\frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\mathrm{D}}{\partial s} V - \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\mathrm{D}}{\partial t} V = K (h (s, t)) \left(\frac {\partial h}{\partial s} \wedge \frac {\partial h}{\partial t}\right) \wedge V.

我们来计算长度泛函在测地线定端变分下的二阶导数．实际上，由于考虑的是长度，我们只需要考虑变分向量场和测地线切向量场垂直的那些定端变分，被称为定端垂直变分。

命题 2.24 (第二变分公式）设 $h:[0,l]\times (-\epsilon ,\epsilon)\to S$ 为测地线 $\gamma :[0,l]\to S$ 的一个定端垂直变分， $V$ 为变分向量场，记 $K(s) = K(\gamma (s))$ 为曲面的Gauss曲率在 $\gamma$ 上的限制，则

L ^ {\prime \prime} (0) = \int_ {0} ^ {l} \left(\left| \frac {\mathrm{D}}{\partial s} V (s) \right| ^ {2} - K (s) | V (s) | ^ {2}\right) \mathrm{d} s.\tag{2.40}

证明在命题2.22的证明中已经得到

L ^ {\prime} (t) = \int_ {0} ^ {l} \frac {\left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t} , \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle}{\left| \frac {\partial h}{\partial s} \right|} \mathrm{d} s.

进一步求导有

L ^ {\prime \prime} (t) = \int_ {0} ^ {l} \frac {\left(\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t} , \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle\right) \left| \frac {\partial h}{\partial s} \right|}{\left| \frac {\partial h}{\partial s} \right| ^ {2}} \mathrm{d} s - \int_ {0} ^ {l} \frac {\left(\left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t} , \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle\right) ^ {2}}{\left| \frac {\partial h}{\partial s} \right| ^ {3 / 2}} \mathrm{d} s.

下面在 $t = 0$ 时化简各项。注意到 $\left\langle \frac{\partial h}{\partial s} (s,0),\frac{\partial h}{\partial t} (s,0)\right\rangle = 0,\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial h}{\partial s} (s,0) = 0,$ 上式第二项的分子

\left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \left\langle \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle - \left\langle \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\mathrm{D}}{\mathrm{d} s} \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle = 0,

所以

L ^ {\prime \prime} (0) = \int_ {0} ^ {l} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle \mathrm{d} s.\tag{2.41}

注意到

\begin{array}{r l} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle & = \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle + \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle \\ & = \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle - \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle \\ & + \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle + \left| \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t} \right| ^ {2}. \end{array}\tag{2.42}

利用引理 2.11，上式前两项可化简为

\begin{array}{r l} & {\left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle - \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {D}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle = K (s) \left\langle \left(\frac {\partial h}{\partial s} \wedge \frac {\partial h}{\partial t}\right) \wedge \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle} \\ & {\qquad = - K (s) \left\langle | V (s) | ^ {2} \frac {\partial h}{\partial s}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle = - K | V (s) | ^ {2}.} \end{array}\tag{2.43}

对于第三项，根据 $\gamma$ 为测地线知

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial t}, \frac {\partial h}{\partial s} \right\rangle .\tag{2.44}

将 $(2.42)$ — $(2.44)$ 式代入 $(2.41)$ 式，整理得到 $(2.40)$ 式。

定理 2.20的证明 根据 Hopf-Rinow 定理，曲面 S 上的任意两点 p, q 均存在最短测地线相连。为了证明 $\mathrm{diam}(S) \leqslant \frac{\pi}{\sqrt{\delta}}$ ，我们用反证法，假设存在一对点 $p, q \in S$ ，使得连接它们的最短测地线 $\gamma$ 满足 $\mathrm{length}(\gamma) = l > \frac{\pi}{\sqrt{\delta}}$ ，我们将利用第二变分公式导出矛盾。因为 $\gamma$ 是连接 p, q 的最短测地线，所以对 $\gamma$ 的任一定端变分而言，有 $L''(0) \geqslant 0$ 。我们将构造一个定端垂直变分向量场，使得 (2.40) 式右端严格小于零，这样得到矛盾。

为此，我们取一沿 $\gamma(s)$ 平行的单位向量场 $w(s)$ ，满足 $\langle w(s), \gamma'(s) \rangle = 0, s \in [0, l]$ 。令

V (s) = w (s) \sin \left(\frac {\pi}{l} s\right), \quad s \in [ 0, l ].

显然 $V(0) = V(l) = 0$ ，且 $\langle V(s),\gamma '(s)\rangle = 0,s\in [0,l]$ ，所以 $V$ 给出了 $\gamma$ 一个垂直定端变分。根据(2.40)式，有

L ^ {\prime \prime} (0) = \int_ {0} ^ {l} \left(\left| \frac {\mathrm{D}}{\partial s} V (s) \right| ^ {2} - K (s) | V (s) | ^ {2}\right) \mathrm{d} s.\tag{面怨}

因为 $w(s)$ 是平行向量场，

\frac {D}{\partial s} V (s) = \frac {\pi}{l} \cos \left(\frac {\pi}{l} s\right) w (s).

由于 $l > \pi / \sqrt{\delta}$ ，所以 $K \geqslant \delta > \pi^2 / l^2$ ，因此

\begin{array}{l} L ^ {\prime \prime} (0) = \int_ {0} ^ {l} \left(\frac {\pi^ {2}}{l ^ {2}} \cos^ {2} \left(\frac {\pi}{l} s\right) - K \sin^ {2} \left(\frac {\pi}{l} s\right)\right) \mathrm{d} s \\ < \int_ {0} ^ {l} \frac {\pi^ {2}}{l ^ {2}} \left(\cos^ {2} \left(\frac {\pi}{l} s\right) - \sin^ {2} \left(\frac {\pi}{l} s\right)\right) \mathrm{d} s \\ = \frac {\pi^ {2}}{l ^ {2}} \int_ {0} ^ {l} \cos \frac {2 \pi}{l} s \mathrm{d} s = 0. \end{array}

命题得证。

我们来说句“事后诸葛亮”的话：之所以想到这样的变分向量场，就是要和目标模型——Gauss曲率 $\equiv K$ 的球面上连接南北极测地线的测地变分作比较。这体现了微分几何中比较定理的基本思想：找到标准模型，然后进行比较。

最后我们引述一个完备非紧非负 Gauss 曲率曲面的结果作为本节的结束。感兴趣的读者可以进一步阅读参考文献 [20].

定理 2.21 (Cohn-Vossen) 若完备非紧 Riemann 曲面 S 的 Gauss 曲率满足 $K \geqslant 0$ ，则 S 或微分同胚于 $R^{2}$ ，或 Gauss 曲率恒为零。

2.9.2 非正曲率：Hadamard 定理

本节中，我们考虑测地线的另一个特殊变分。设 $\gamma(s)$ 为一条以弧长为参数的测地线，若变分 $h$ 满足对所有的 $t$ ， $h_t(s)$ 都是一条测地线，则称其为 $\gamma(s)$ 的一个测地变分。注意对于 $t \neq 0$ ， $s$ 不一定是弧长参数。

定义 2.28（Jacobi 场）设 $h(s,t)$ 为 $\gamma(s)$ 的一个测地变分，其变分向量场 $J(s)=\frac{\partial h}{\partial t}(s,0)$ 被称为一沿着 $\gamma(s)$ 的 Jacobi 场。

命题 2.25 设 $J(s)$ 是沿着 $\gamma : [0, l] \to S$ 的Jabobi场，记 $K(s)$ 为曲面沿者 $\gamma(s)$ 的Gauss曲率，则 $J(s)$ 满足以下方程（Jacobi方程）

\frac {\mathrm{D}}{\mathrm{d} s} \frac {\mathrm{D}}{\mathrm{d} s} J (s) + K (s) (\gamma^ {\prime} (s) \wedge J (s)) \wedge \gamma^ {\prime} (s) = 0.\tag{2.45}

证明设 $h: [0, l] \times (-\varepsilon, \varepsilon) \to S$ 为一对应 $J(s)$ 的测地变分，由于 $h_t$ 都是测地线，所以

\frac {\mathrm{D}}{\mathrm{d} s} \frac {\partial h (s , t)}{\partial s} = 0, \quad \forall t \in (- \varepsilon , \varepsilon).

进而

\frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial s} (s, t) = 0, \quad (s, t) \in [ 0, l ] \times (- \varepsilon , \varepsilon).

根据引理2.11有

\frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\partial h}{\partial s} = \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\mathrm{D}}{\partial t} \frac {\partial h}{\partial s} + K (s, t) \left(\frac {\partial h}{\partial s} \wedge \frac {\partial h}{\partial t}\right) \wedge \frac {\partial h}{\partial s} = 0.\tag{2.41}

由于 $(\mathrm{D}/\partial t)(\partial h/\partial s)=(\mathrm{D}/\partial s)(\partial h/\partial t)$ ，再在上式中取 t=0 即得 (2.45) 式。

例题 2.25（Jacobi场）设 $\gamma: [0, l] \to S$ 为以弧长为参数的 $S$ 上测地线，记 $\gamma(0) = p$ ，取 $e_1, e_2$ 为 $T_pS$ 的一组标准正交基，将 $\{e_1, e_2\}$ 沿着 $\gamma$ 平行移动，所得记为 $\{e_1(s), e_2(s)\}$ ，它们构成了 $T_{\gamma(s)}S (\forall s \in [0, l])$ 的一组标准正交基。若 $J(s)$ 为沿着 $\gamma(s)$ 的Jacobi场，可以假设 $J(s) = a_1(s)e_1(s) + a_2(s)e_2(s)$ ，则

\frac {\mathrm{D}}{\partial s} J = a _ {1} ^ {\prime} e _ {1} + a _ {2} ^ {\prime} e _ {2},

\frac {\mathrm{D}}{\partial s} \frac {\mathrm{D}}{\partial s} J = a _ {1} ^ {\prime \prime} e _ {1} + a _ {2} ^ {\prime \prime} e _ {2}.

另一方面，假设

(\gamma^ {\prime} \wedge J) \wedge \gamma^ {\prime} = \lambda_ {1} e _ {1} + \lambda_ {2} e _ {2},

那么

\begin{array}{r l} \lambda_ {1} e _ {1} + \lambda_ {2} e _ {2} & = (\gamma^ {\prime} \wedge (a _ {1} e _ {1} + a _ {2} e _ {2})) \wedge \gamma^ {\prime} \\ & = a _ {1} (\gamma^ {\prime} \wedge e _ {1}) \wedge \gamma^ {\prime} + a _ {2} (\gamma^ {\prime} \wedge e _ {2}) \wedge \gamma^ {\prime}. \end{array}

如果令 $\langle (\gamma' \wedge e_i) \wedge \gamma', e_j \rangle = \alpha_{ij}, i, j = 1,2,$ 就有

\lambda_ {1} = a _ {1} \alpha_ {1 1} + a _ {2} \alpha_ {2 1}, \quad \lambda_ {2} = a _ {1} \alpha_ {1 2} + a _ {2} \alpha_ {2 2}.

(2.45) 式就化为

\left\{ \begin{array}{l} a _ {1} ^ {\prime \prime} (s) + K (s) (\alpha_ {1 1} (s) a _ {1} (s) + \alpha_ {2 1} (s) a _ {2} (s)) = 0, \\ a _ {2} ^ {\prime \prime} (s) + K (s) (\alpha_ {1 2} (s) a _ {1} (s) + \alpha_ {2 2} (s) a _ {2} (s)) = 0. \end{array} \right.

所以 (2.45) 式实际上是一个二阶线性常微分方程组，其在 $[0, l]$ 上的解由初值 $J(0) = (a_{1}(0), a_{2}(0))$ ， $\frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{d}s}(0) = (a_{1}'(0), a_{2}'(0))$ 完全决定，即解空间为一个四维线性空间。我们再建立两个关于 Jacobi 场非常有用的命题。

命题 2.26 设 $J_{1}, J_{2}$ 为两个沿着 $\gamma(s)$ 的Jacobi场，则

\left\langle {\frac {\mathrm{D} J _ {1}}{\mathrm{d} s}, J _ {2} (s)} \right\rangle - \left\langle J _ {1} (s), {\frac {\mathrm{D} J _ {2}}{\mathrm{d} s}} \right\rangle = \text {常数}.

证明

\begin{array}{r l} & {\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \left(\left\langle \frac {\mathrm{D} J _ {1}}{\mathrm{d} s}, J _ {2} (s) \right\rangle - \left\langle J _ {1} (s), \frac {\mathrm{D} J _ {2}}{\mathrm{d} s} \right\rangle\right)} \\ & {\quad = \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\mathrm{d} s} \frac {\mathrm{D} J _ {1}}{\mathrm{d} s}, J _ {2} (s) \right\rangle - \left\langle J _ {1} (s), \frac {\mathrm{D}}{\mathrm{d} s} \frac {\mathrm{D} J _ {2}}{\mathrm{d} s} \right\rangle} \\ & {\quad = - K \left\{\langle (\gamma^ {\prime} \wedge J _ {1}) \wedge \gamma^ {\prime}, J _ {2} \rangle - \langle (\gamma^ {\prime} \wedge J _ {2}) \wedge \gamma^ {\prime}, J _ {1} \rangle \right\} = 0.} \end{array}

命题 2.27 设 $J(s), s \in [0, l]$ 为一沿着 $\gamma(s)$ 的Jacobi场，满足

\langle J (s _ {1}), \gamma^ {\prime} (s _ {1}) \rangle = \langle J (s _ {2}), \gamma^ {\prime} (s _ {2}) \rangle = 0, \quad s _ {1} < s _ {2} \in [ 0, l ].

则有

\langle J (s), \gamma^ {\prime} (s) \rangle = 0, \quad \forall s \in [ 0, l ].

证明注意到 $\gamma'(s)$ 也是一个 Jacobi 场，且 $\frac{\mathrm{D}\gamma'(s)}{\mathrm{d}s} = 0$ ，所以根据命题 2.26 有

\left\langle \frac {\mathrm{D} J (s)}{\mathrm{d} s}, \gamma^ {\prime} (s) \right\rangle = \text {常数} = A.

进而

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \langle J (s), \gamma^ {\prime} (s) \rangle = \left\langle \frac {\mathrm{D} J}{\mathrm{d} s}, \gamma^ {\prime} (s) \right\rangle = A,

于是

\langle J (s), \gamma^ {\prime} (s) \rangle = A s + B,

根据假设，上述线性函数有两个零点，所以恒为零。

我们可以通过 Jacobi 场来更深入了解指数映射。建立联系的关键是下述引理。

引理 2.12 取定 $p \in S$ ，以及 $v, w \in T_pS$ ，满足 $|v| = 1$ 。令

\gamma (s) = \exp_ {p} (s v), \quad s \in [ 0, l ],

则下述向量场

J (s) = s \left(\mathrm{d} \exp_ {p}\right) _ {s v} (w), \quad s \in (0, l ],

是一个沿着 $\gamma(s)$ 的 Jacobi 场，并且满足 $J(0) = 0$ ， $\frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{d}s}(0) = w$ 。

证明取 $v(t):(-\varepsilon, \varepsilon) \to T_pS$ 满足 $v(0) = v, v'(0) = w$ 。考虑映射

h (s, t) = \exp_ {p} (s v (t)), \quad t \in (- \varepsilon , \varepsilon), s \in [ 0, l ].

显见这是一个光滑映射，且 $s \to h_t(s) = h(s, t)$ 都是测地线，所以 $h(s, t)$ 恰为 $\gamma(s)$ 的一个测地变分。我们断言 $h$ 的变分向量场就是 $J(s)$ 。实际上，为了计算 $\frac{\partial h}{\partial t}(s_0, 0)$ ，我们可考虑切空间中曲线 $t \to s_0 v(t)$ ，该曲线在 $t = 0$ 处的切向量就是 $s_0 w$ 。根据切映射的定义就有

\frac {\partial h}{\partial t} (s _ {0}, 0) = \left(\mathrm{d} \exp_ {p}\right) _ {s _ {0} v} (s _ {0} w) = s _ {0} \left(\mathrm{d} \exp_ {p}\right) _ {s _ {0} v} (w).

显然根据定义 $J(0)=0$ ，而

\frac {\mathrm{D}}{\partial s} s \left(\mathrm{d} \exp_ {p}\right) _ {s v} (w) = \left(\mathrm{d} \exp_ {p}\right) _ {s v} (w) + s \frac {\mathrm{D}}{\partial s} \left(\mathrm{d} \exp_ {p}\right) _ {s v} (w),

令 $s = 0$ ，立得 $\frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{d}s} (0) = w.$

定义 2.29（共轭点）设 $\gamma:[0,l]\to S$ 为连接 p,q 的测地线，如果存在沿着 $\gamma(s)$ 的非零 Jacobi 场满足 $J(0)=J(l)=0$ ，则称 p,q 沿着 $\gamma$ 共轭，或者 q 为 p 沿着 $\gamma$ 的共轭点。

对于完备曲面，我们知道指数映射 $\exp_p: T_p S \to S$ 是一个光滑映射，并且在切平面的原点附近是一个微分同胚。一个自然的问题是，何时指数映射总是局部微分同胚？何时是整体微分同胚？第一个问题的回答相对简单，只要指数映射没有临界点，那么根据反函数定理，它就是局部微分同胚。下面的引理表明指数映射的临界点和共轭点有密切联系。

引理 2.13 设 $\gamma(s) = \exp_p(sv)$ 为连接 $p, q$ 的测地线，设 $\gamma(l) = q$ ，则 $q$ 为 $p$ 沿着 $\gamma(s)$ 共轭点当且仅当 $lv$ 是 $\exp_p$ 的临界点。

证明如果 $v \in T_pS$ 是 $\exp_p$ 的临界点，则存在非零向量 $w$ ，使得

(\mathrm{d} \exp_ {p}) _ {v} (w) = 0.

取 $v: (-\varepsilon, \varepsilon) \to T_pS$ 满足 $v(0) = v, v'(0) = w$ ，则测地变分

h (s, t) = \exp_ {p} (s v (t)), \quad (s, t) \in [ 0, l ] \times (- \varepsilon , \varepsilon)

的变分向量场 $J(s)$ 就是一个非零 Jacobi 场，且满足 $J(0) = 0$ ， $J(l) = (\mathrm{d}\exp_p)_v(w) = 0$ 。反之，如果 $q$ 为 $p$ 沿着 $\gamma(s)$ 的共轭点。不妨设 $q = \exp_p(lv)$ ，其中 $v \in T_pS$ 是一个单位向量。则存在 Jacobi 场 $J(s): s \in [0, l]$ ，满足 $J(0) = J(l) = 0$ 。由于 $J(s)$ 非零，则 $\frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{d}s}(0) = w \neq 0$ （否则由 Jacobi 场由初值唯一决定就得 $J \equiv 0$ ）。选取 $v: (-\varepsilon, \varepsilon) \to T_pS$ 满足 $v(0) = v, v'(0) = \frac{w}{l}$ ，记测地变分

h (s, t) = \exp_ {p} (s v (t)), \quad (s, t) \in [ 0, l ] \times (- \varepsilon , \varepsilon)

的变分向量场为 $\bar{J}(s)$ 。这样 $\bar{J}(0) = J(0) = 0, \frac{\mathrm{D}\bar{J}}{\mathrm{d}s}(0) = w$ ，所以 $\bar{J}(s) = J(s), \forall s \in [0, l]$ ，所以 $0 = J(l) = \bar{J}(l) = l(\mathrm{d}\exp_p)_v\left(\frac{w}{l}\right)$ ，这说明 $v$ 是 $\exp_p$ 的临界点。

从直观上看， $h(s,t) = \exp_p(sv(t))$ 这族测地线变分的散开程度可以通过其Jaboci场的长度来表征，而(2.45)式是Jacobi场所满足的方程，其中蕴涵Gauss曲率项，所以Gauss曲率的符号直接影响了测地线的散开程度。

定理 2.22 若完备 Riemann 曲面 S 的 Gauss 曲率满足 $K \leqslant 0$ ，则任一点 p 没有共轭点。

证明取定 $p \in S$ ，设 $\gamma(s): [0, l] \to S$ 为从 $p$ 出发的测地线，假设 $q = \gamma(l)$ 为一共轭点，就有 $J(s)$ 为一 Jacobi 场，且满足 $J(0) = J(l) = 0$ 。这样 $\langle J(s), \gamma'(s) \rangle = 0$ ，所以 (2.45) 式两边和 $J(s)$ 内积，就得到

\left\langle \frac {\mathrm{D}}{\mathrm{d} s} \frac {\mathrm{D} J}{\mathrm{d} s}, J \right\rangle = - K \langle J, J \rangle \geqslant 0.

进而

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \left\langle \frac {\mathrm{D} J}{\mathrm{d} s}, J \right\rangle = \left\langle \frac {\mathrm{D}}{\mathrm{d} s} \frac {\mathrm{D} J}{\mathrm{d} s}, J \right\rangle + \left\langle \frac {\mathrm{D} J}{\mathrm{d} s}, \frac {\mathrm{D} J}{\mathrm{d} s} \right\rangle \geqslant 0.

由于函数 $\left\langle \frac{\mathrm{D}J}{\mathrm{d}s}, J \right\rangle$ 在 $s = 0, l$ 处均为零，所以

0 \equiv 7, 0 < (x, x) h

\left\langle \frac {\mathrm{D} J}{\mathrm{d} s}, J \right\rangle \equiv 0.

这样根据

\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \langle J, J \rangle = 2 \left\langle \frac {\mathrm{D} J}{\mathrm{d} s}, J \right\rangle = 0,

又进一步得出 $|J(s)| \equiv$ 常数。而 $J(0) = 0$ ，所以 $J(s) \equiv 0$ ，这和 $J(s)$ 是一个非零 Jacobi 场矛盾。

那么由引理2.13和定理2.22以及反函数定理立知

定理 2.23 若完备 Riemann 曲面 S 的 Gauss 曲率满足 $K \leqslant 0$ ，则任一点的指数映射 $\exp_{p}: T_{p}S \to S$ 是一个局部微分同胚。

定理 2.24 (Hadamard) 若完备单连通 Riemann 曲面 S 的 Gauss 曲率满足 $K \leqslant 0$ ，则任一点的指数映射 $\exp_{p}: T_{p}S \to S$ 是一个整体微分同胚，特别地，S 微分同胚于 $R^{2}$ 。

证明因为 $S$ 是完备的， $\exp_p: T_p S \to S$ 是一个局部微分同胚且满射，可以将 $S$ 上的度量 $g$ 拉回到 $T_p S$ 上，记为 $g^*$ ，这样 $\exp_p$ 便是一个局部等距。而这个度量是完备的（见本章习题39），所以根据引理2.4知， $\exp_p$ 是一个覆盖映射，由于 $S$ 本身是单连通的，所以该覆盖映射就是一重的，也就是一个整体微分同胚。

第二章练习

1. 对 Riemann 曲面 $(S, g)$ 做一伸缩变换， $\tilde{g} = \lambda^{2} g$ ，证明： $\tilde{K} = \frac{1}{\lambda^{2}} K$ 。

2. （共形等价）对于微分同胚 $\varphi: S \to \bar{S}$ ，如果对 $p \in S$ 及 $v_1, v_2 \in T_pS$ ，存在 $S$ 上一个正的光滑函数 $\lambda(p)$ ，使得

((\mathrm{d} \varphi) _ {p} (v _ {1}), (\mathrm{d} \varphi_ {2}) _ {p} (v _ {2})) = \lambda^ {2} (p) (v _ {1}, v _ {2}),

就称 $\varphi$ 为一个共形映射（如果两个曲面间存在共形映射，就称它们是共形等价的）。证明：共形映射是保角映射，也就是

\angle (v _ {1}, v _ {2}) = \angle (\mathrm{d} \varphi_ {p} (v _ {1}), \mathrm{d} \varphi_ {p} (v _ {2})).

3. 设 $X: \Omega \to S$ 为曲面的一个等温参数化，也就是第一基本形式形如 $E = G = \lambda(u, v) > 0$ ， $F \equiv 0$ ，证明：该参数化保持角度，也就是任取 $\Omega$ 中两条相交曲线 $\gamma_1, \gamma_2$ ，令 $\beta_i = X \circ \gamma_i$ ， $i = 1, 2$ 为曲面 $S$ 上两条相应的曲线，则他们的夹角和 $\gamma_1, \gamma_2$ 的夹角相同. 4. 证明： $\mathbb{R}^2 \setminus 0$ 和圆柱面共形等价。

5. 单位球面有一个如下的参数化 $X(\theta, \varphi) = (\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta)$ ( $0 < \theta < \pi$ ， $0 < \varphi < 2\pi$ .) 引入变换 $\ln \tan \frac{\theta}{2} = u, \varphi = v$ ，证明： $Y(\theta(u, v), \varphi(u, v))$ 是一个共形映射。该映射的逆映射将纬线和经线映成平面中的直线，被称为 Mercator （墨卡托）投影。这是常用的绘制世界地图的方法。该方法绘制出的世界地图可以大致保持形状，但靠近南北极区域面积会显著增加，这也是为什么格陵兰岛在地图上比真实要大很多。

6. 验证由 (2.7) 式定义的协变导数和局部参数化的选取无关。

7. 设两个参数曲面 $S_{1}, S_{2}$ 的第一基本形式系数分别为 $E(u, v) = 1, F(u, v) = 0, G(u, v) = 1 + u^{2}$ ，以及 $\bar{E}(x, y) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}, \bar{F}(x, y) = 0, \bar{G}(x, y) = x^{2}$ 。这两个参数曲面是否等距？

8. 设 $U \subset \mathbb{R}^2$ 在极坐标 $(\rho, \theta)$ 下为

0 < \rho < \infty , \quad 0 < \theta < 2 \pi \sin \alpha .

令 $f: U \to \mathbb{R}^3$ 为

f (\rho , \theta) = \left(\rho \sin \alpha \cos \left(\frac {\theta}{\sin \alpha}\right), \rho \sin \alpha \sin \left(\frac {\theta}{\sin \alpha}\right), \rho \cos \alpha\right).

证明 f 是从 U 到 $f(U)$ 的等距映射。

9. 试找到一参数曲面 $\mathbb{X}(u, v)$ 使得其第一基本形式和第二基本形式的系数恰为

E (u, v) = 1 + u ^ {2}, \quad F (u, v) = 0, \quad G (u, v) = u ^ {2};

e (u, v) = \frac {1}{\sqrt {1 + u ^ {2}}}, \quad f (u, v) = 0, \quad g (u, v) = \frac {u ^ {2}}{\sqrt {1 + u ^ {2}}}.

10. 证明：不存在参数曲面 $\mathbb{X}(u, v)$ 使得其第一基本形式和第二基本形式的系数分别为 $E = G = 1, F = 0$ 以及 $e = 1, g = -1, f = 0$ 。

11. 证明：在正则光滑曲面 $S$ 上，如果两个主曲率都是常数，且 $k_{1} \neq k_{2}$ ，其中一个主曲率必恒为零。

12. 证明：两个主曲率均为常数的完备正则光滑曲面 S 必为平面、球面、圆柱面三者之一。

13. 设 $\alpha: I \to \mathbb{R}^3$ 为一条曲率不为零的曲线， $s$ 为弧长参数， $b(s)$ 是从法向量。考虑参数曲面

\mathbb {X} (s, v) = \alpha (s) + v b (s), \quad s \in I, v \in (- \varepsilon , \varepsilon),

证明 $\alpha(s)$ 是其上一条测地线。

14. 将 $(x - a)^2 + z^2 = r^2$ 绕 $z$ 轴旋转一圈得到一个环面 $(a > r > 0)$ ，计算将点 $(a, r)$ 旋转一圈所得曲线的测地曲率。取外法向量。

15. （测地线）

(1) 证明：螺旋线 $\alpha(t) = (\cos t, \sin t, t)$ 是柱面 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的测地线。

(2) 证明：若一正则曲面 $S \subset \mathbb{R}^3$ 关于 $x - y$ 平面反射对称，且 $S \cap \{z = 0\}$ 是一条光滑曲线，则它是 $S$ 上的测地线。

16. 证明：若正则曲面 S 上所有的测地线都是平面曲线，S 必为平面或者球面的一部分。

17. （Liebmann 引理）设 $f: \Omega \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 是一个定义在开集 $\Omega$ 上的光滑凸函数，假设 $\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 为 $f$ 图像曲面上的一条测地线，证明： $z''(t) \geqslant 0$ 。

18. 证明：局部等距映射必将测地线映为测地线。

19. 一个参数化 $X: U \to \mathbb{R}^3$ 称为正交参数化如果 $F \equiv 0$ ，在此参数化下计算 $\Gamma_{ij}^k$ 并证明

K = - \frac {1}{2 \sqrt {E G}} \left\{\left(\frac {E _ {v}}{\sqrt {E G}}\right) _ {v} + \left(\frac {G _ {u}}{\sqrt {E G}}\right) _ {u} \right\}.

20. 利用 Gauss 公式推导在等温参数化下 $(E = G = \lambda > 0, F \equiv 0)$ 的 Gauss 曲率为

K = - \frac {1}{2 \lambda} \Delta (\ln \lambda).

21. 设 $X(u, v)$ 为一个等温参数化 $(E = G = \lambda(u, v) > 0, F \equiv 0)$ ，证明：其上一以弧长为参数的曲线 $\alpha(s) = X(u(s), v(s))$ 的测地曲率 $k_g(s)$ 为

k _ {g} (s) = \frac {1}{2 \lambda} (\lambda_ {u} v ^ {\prime} (s) - \lambda_ {v} u ^ {\prime} (s)) + \varphi^ {\prime} (s),

其中 $\varphi(s)$ 是从 $X_{u}$ 到 $\alpha'(s)$ 的正向夹角。

22. 给球面如下的参数化： $\mathbb{X}(u, v) = (a \cos u \cos v, a \cos u \sin v, a \sin u)$ ，设 $\alpha(s) = \mathbb{X}(u(s), v(s))$ 为球面上以弧长为参数的曲线， $\theta(s)$ 为曲线和经线（ $u$ -曲线）之间的夹角。球面法向取为外法向。证明： $\alpha$ 的测地曲率为

k _ {g} = \theta^ {\prime} (s) - \sin (u (s)) v ^ {\prime} (s).

23. 设 $g$ 为平面上一整体共形于欧氏度量的度量，即其第一基本形式系数可以表为 $E(x, y) = G(x, y) = \mathrm{e}^{2u(x, y)} > 0$ ， $F(x, y) \equiv 0$ ，设 $\alpha$ 为平面上逆时针走向的简单闭曲线，其围成区域的外法向记为 $n$ ，该曲线关于欧氏度量的测地曲率记为 $k_0$ 。证明：该曲线关于度量 $g$ 的测地曲率 $k_g$ 满足

k _ {g} \mathrm{e} ^ {u} = \frac {\partial u}{\partial n} + k _ {0}.

24. 证明：不存在共形于 $\mathbb{R}^2$ 的度量，其 Gauss 曲率 $K \equiv -1$ 。（假设该共形度量的第一基本形式系数为 $E = G = \mathrm{e}^{2u}$ ，则该题等价于证明 $\Delta u = \mathrm{e}^{2u}$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上没有整体解.）

25. 设 $S$ 是一个可定向完备非紧曲面，其 Gauss 曲率处处为正，证明： $S$ 的 Gauss 映射像落在一个半球内，由此得出

\int_ {S} K \mathrm{d} \sigma \leqslant 2 \pi .

26. 设 $S \subset \mathbb{R}^3$ 为一紧致无边曲面，证明：

\int_ {S} | K | \mathrm{d} \sigma \geqslant 2 \pi (4 - \chi (S)),

试找一个非凸闭曲面使上式取到等号。

27. (1) 令 $S$ 为单叶双曲面 $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ ，试计算其 Gauss 曲率。

(2) 证明： $x^{2} + y^{2} = 1, z = 0$ 是 $S$ 上的一条简单闭测地线。

(3) $S$ 上还有其他简单闭测地线吗？给出你的理由。

28. 试给环面一个三角剖分，并计算其 Euler 示性数。给 Klein 瓶一个三角剖分，并计算其 Euler 示性数。

29. （Willmore 不等式）设 $S \subset \mathbb{R}^2$ 为一紧致无边封闭曲面，且 $S$ 同胚与球面，证明： $\int_{S} H^{2} \mathrm{d}\sigma \geqslant 4\pi$ ，并分析等号成立的情况。

30. （覆盖映射）证明：如果 $f: S_{1} \mapsto S_{2}$ 为两曲面之间的映射，满足

(1) $S_{1}$ 是紧集；

(2) $f$ 是局部微分同胚，且满射，

则 $f$ 是一个覆盖映射。

31. （测地圆周的局部等周不等式）记 $S_{r}(p)$ 为曲面 $S$ 上以 $p$ 为心， $r$ 为半径的测地圆周。设 $L$ 为其长度， $A$ 为 $S_{r}(p)$ 围成的面积。证明：

4 \pi A - L ^ {2} = \pi^ {2} r ^ {4} K (p) + o (r ^ {4}).

32. 证明：在测地极坐标 $((E = 1, F = 0))$ 下的测地线方程为

\rho^ {\prime \prime} - \frac {1}{2} G _ {\rho} (\theta^ {\prime}) ^ {2} = 0,

\theta^ {\prime \prime} + \frac {G _ {\rho}}{G} \rho^ {\prime} \theta^ {\prime} + \frac {1}{2} \frac {G _ {\theta}}{G} (\theta^ {\prime}) ^ {2} = 0.

33. 证明：在测地欧氏坐标下，第一基本形式在 $u = 0, v = 0$ 处有如下 Taylor 展开：

\begin{array}{l} {E (u, v) = 1 - \frac {1}{3} K (0, 0) v ^ {2} + o (u ^ {2} + v ^ {2}),} \\ {F (u, v) = \frac {1}{3} K (0, 0) u v + o (u ^ {2} + v ^ {2}),} \\ {G (u, v) = 1 - \frac {1}{3} K (0, 0) v ^ {2} + o (u ^ {2} + v ^ {2}).} \end{array}

34. 建立双曲空间的平面模型和上半平面模型的之间一个显式的等距同构。

35. 在双曲空间的平面模型中，证明： $v =$ 常数是测地线，且该测地线在上半平面上对应于竖直的直线。

36. 如果映射 $\alpha : [0, \infty) \to S$ 满足对任给的紧集 $K \subset S$ 都有 $t_0 \in (0, \infty)$ ，使得 $\alpha(t) \notin K, t > t_0$ ，则称 $\alpha$ 为 $S$ 上一条发散曲线。其长度定义为

\lim _ {t \to \infty} \int_ {0} ^ {t} | \alpha^ {\prime} (t) | \mathrm{d} t.

证明 $S \subset R^{3}$ 是完备的当且仅当其上每条发散射线长度是无穷。

37. 在上半平面中引入度量 g，使得

g (\partial_ {x}, \partial_ {x}) = E (x, y) = 1, g (\partial_ {x}, \partial_ {y}) = F (x, y) = 0, g (\partial_ {y}, \partial_ {y}) = G (x, y) = \frac {1}{y}.

证明该度量不完备。

38. 设 $\Omega \subset \mathbb{S}^2$ 为一闭集， $\mathbb{S}^2$ 上的距离由其曲线长度诱导，定义 $d(p, \Omega) = \inf_{x \in \Omega} d(p, x)$ ，证明：上确界 $\sup_{x \in S^2(1)} d(x, \Omega)$ 可以由某点实现。（把 $\Omega$ 看出地球上的陆地，那么这个实现上确界的点是地球上到最近陆地距离最远的点，被称为 Nemo 点.）

39. 设 $(S, g)$ 是一个完备的抽象 Riemann 曲面，如果 $\exp_p: T_p S \to S$ 是一个局部微分同胚，记 $g^*$ 为通过 $\exp_p$ 将 $g$ 拉回到 $T_p S$ 的度量，证明： $g^*$ 是完备的。

40. 如果测地线 $\gamma: [0, \infty) \to S$ 对任意 $s$ 来说都是连接 $\gamma(0)$ 和 $\gamma(s)$ 的最短测地线，则称其为测地射线。证明：如果 $(S, g)$ 为一个完备非紧 Riemann 曲面，其上过任一点 $p$ 都存在测地射线。

41. （Minkowski 公式）设 $S \subset \mathbb{R}^3$ 为一紧致无边光滑曲面， $n(x)$ 为 $S$ 的外法向量场， $f := x \cdot n(x)$ 称为 $S$ 的支撑函数，记 $H, K$ 分别为曲面的平均曲率（关于外法向量 $n$ ）和 Gauss 曲率。证明：

\int_ {S} 1 \mathrm{d} \sigma = \int_ {S} H f \mathrm{d} \sigma ; \tag {1}

(2) $\int_{S} H \, \mathrm{d}\sigma = \int_{S} K f \, \mathrm{d}\sigma$ 。

42. 试利用上述 Minkowski 公式给 Liebmann 定理一个新的证明，即 Gauss 曲率为常数的紧致无边曲面等距于球面。

43. （面积的第一变分）设 $S$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中一正则闭曲面，考虑其向外法方向的平行曲面： $S_t: \mathbb{X} + tn(\mathbb{X})$ ，其中 $\mathbb{X}$ 代表 $S$ 的位置向量， $n(\mathbb{X})$ 表示其外法向。令 $A(t) = \mathrm{Area}(S_t)$ ，证明： $A'(0) = -2 \int_{S} H \mathrm{d}\sigma$ ，其中 $H$ 是 $S$ 按朝外法向的平均曲率。（例：设 $S$ 是半径为 $r$ 的球面，外平行曲面 $S_t$ 即为半径为 $r + t$ 的球面，这样 $A(t) = 4\pi(r + t)^2$ ， $A'(0) = 8\pi r$ ，而此时 $H = -\frac{1}{r}$ ，所以 $A'(0) = -2 \int_{S} H \mathrm{d}\sigma$ 确实成立.）

44. （极小曲面）

(1) 假设 $\mathbb{X}(u, v)$ 是一个参数曲面且 $\mathbb{X}$ 是等温参数化， $E(u, v) = G(u, v) = \lambda(u, v) > 0$ ， $F(u, v) \equiv 0$ ，证明：

\mathbb {X} _ {u u} + \mathbb {X} _ {v v} = 2 \lambda H n.

其中 n 为选定的单位法向量场，H 为关于 n 的平均曲率。

(2) 如果正则光滑曲面 $S \subset \mathbb{R}^3$ 的平均曲率恒为零，就称其为极小曲面。由上题知，在等温参数化下， $S$ 为极小曲面当且仅当相应的坐标函数是调和函数，即满足 $\Delta(f) :=$

$\left(\frac{\partial^2}{\partial u^2} + \frac{\partial^2}{\partial v^2}\right)(f) = 0.$ 利用此验证

\mathbb {X} (u, v) = \left(a \cosh v \cos u, a \cosh v \sin u, a v\right) \quad (0 < u < 2 \pi , - \infty < v < \infty)

是一个极小曲面。

45. （Scherk 曲面）设 $z = f(x) + g(y)$ 为极小曲面，证明：在相差一个常数的意义下， $az = \ln \frac{\cos(ay)}{\cos(ax)}$ 。

46. (Kazdan-Warner) 在 $\mathbb{R}^2$ 上引入度量 $g$ ，满足

g (\partial_ {x}, \partial_ {x}) = E (x, y) = 1, \quad g (\partial_ {x}, \partial_ {y}) = F (x, y) = 0, \quad g (\partial_ {y}, \partial_ {y}) = G (x, y) > 0.

(1) 证明：该度量的 Gauss 曲率满足

\frac {\partial^ {2} \sqrt {G}}{\partial x ^ {2}} + K (x, y) \sqrt {G} = 0.

(2) 反之，任给一个 $\mathbb{R}^2$ 上的光滑函数 $K(x,y)$ ，视 $y$ 为参数，令 $\sqrt{G}$ 为上述方程关于初值

\sqrt {G} (x _ {0}, y) = 1, \quad \frac {\partial \sqrt {G}}{\partial x} (x _ {0}, y) = 0

的解。证明： $\sqrt{G}$ 在 $(x_0, y)$ 的一个邻域内是正的。因此任意函数局部上总可以成为某个度量的 Gauss 曲率。

47. 设 $S$ 是一个完备曲面其 Gauss 曲率满足 $K \geqslant \delta > 0$ ，证明：任一测地线 $\gamma: [0, \infty) \to S$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{\sqrt{\delta}}\right]$ 内必有一个和 $\gamma(0)$ 共轭的点。

48. (Jacobi) 若 $\alpha: I \to \mathbb{R}^3$ 是一条曲率处处非零的闭曲线，如果其法向量曲线 $n: I \to \mathbb{S}^2$ 是简单的，则一定将单位球面分成面积相同的两部分。（提示：试计算 $n: I \to \mathbb{S}^2$ 作为球面曲线的测地曲率，再运用 Gauss-Bonnet 公式.）

49. (Hamilton) 设 $S \subset \mathbb{R}^2$ 是一个平均曲率严格大于零的完备凸曲面，两个主曲率约定为 $\kappa_1 \geqslant \kappa_2 \geqslant 0$ ，如果存在常数 $c > 0$ ，使得 $\kappa_2(p) \geqslant c\kappa_1(p) \geqslant 0, \forall p \in S$ ，证明： $S$ 必为紧致曲面。

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