微分几何第三章

知道“是什么”只是表象，明白“为什么”才是本质。

—E. Witten

在前两章中，我们系统地介绍了曲面的外蕴和内蕴几何学。本章我们将遵循 1854 年 Riemann 在就职演说中的想法，将内蕴几何学的研究从二维推广到高维。这背后大致有两个步骤：第一步是建立抽象曲面的高维推广——流形；第二步是在流形切空间引入度量进一步研究曲率。在本章中我们只能完成第一步，作流形理论的初步介绍。本章的最终目标是通过流形上的微分形式反映流形的整体拓扑性质。第二步就留给 Riemann 几何课程了。

3.1 流形

首先我们回忆什么叫拓扑空间。一个拓扑空间是指一个集合 X 及其上指定的一个子集族 \mathcal{T}，该子集族的元素关于有限交和任意并的运算是封闭的。\mathcal{T} 中的元素称为 X 的开集。最典型的例子就是欧氏空间，并带有欧氏距离诱导的拓扑：记以 x 为心 r 为半径的开球为 B_x(r)，则欧氏空间一个子集 A 为开集当且仅当 \forall x \in A，存在 r > 0 使得 B_x(r) \subset A。

拓扑流形的定义如下：

粗略地说，流形就是将欧氏空间的开集连续拼接得到的空间。在拓扑流形上，可以合理定义和连续有关的概念。为了进一步定义可微的概念，我们需要假定转移函数的光滑性，这就得到了光滑流形。

\varphi_ {1} \circ \varphi_ {2} ^ {- 1}: \varphi_ {2} (U _ {1} \cap U _ {2}) \to \varphi_ {1} (U _ {1} \cap U _ {2}),

\varphi_ {2} \circ \varphi_ {1} ^ {- 1}: \varphi_ {1} (U _ {1} \cap U _ {2}) \to \varphi_ {2} (U _ {1} \cap U _ {2}),

一个极大光滑图册也被称为流形上的一个光滑结构。自20世纪50年代起关于流形上光滑结构的研究波澜壮阔，Milnor在1956年发现一个七维怪球(exotic sphere)，其上存在和标准光滑结构不兼容的光滑结构. Kervaire于1961年发现了一个10维拓扑流形其上不存在光滑结构。至20世纪80年代，Freedman和Donaldson的工作表明四维拓扑流形上的光滑结构是一个特别诡谲的世界。基于他们的工作，Taubes证明 \mathbb{R}^4 上存在不可数多个光滑结构。近几年，我国青年学者王国祯和徐宙利在球面稳定同伦群计算的问题上取得了重要的突破。他们的工作表明奇数维球面中只有一维、三维、五维和六十一维具有唯一的光滑结构。

作为光滑流形，其上的对象可以合理定义光滑性。

在光滑流形的范畴内，微分同胚的两个光滑流形可以视为同一个对象。

下面给出一些流形的例子。需要注意的是，有些例子对应一些拓扑操作，所以先需要定义其上的拓扑。另外很多时候我们更多关注局部欧氏这一性质，至于其上的光滑结构，实际上都有典则的方法从原有的例子中诱导出来，详细的论证可参见微分拓扑教材，如参考文献 [26].

我们给出 \mathbb{S}^n 上一个图册。首先定义 2(n + 1) 个开集：

U _ {i} ^ {+} = \{(x _ {1}, \dots , x _ {n + 1}) \in \mathbb {S} ^ {n} | x _ {i} > 0 \},

U _ {i} ^ {-} = \{(x _ {1}, \dots , x _ {n + 1}) \in \mathbb {S} ^ {n} | x _ {i} <   0 \}, i = 1, \dots , n + 1.

然后定义同胚映射 \varphi_{i}^{\pm}:U_{i}^{\pm}\to \mathbb{R}^{n}

\varphi_ {i} ^ {\pm} ((x _ {1}, \dots , x _ {n + 1})) = (x _ {1}, \dots , \hat {x _ {i}}, x _ {i + 1}, \dots , x _ {n + 1}).

\hat{x}_{i} 表示略去该分量。

容易验证所有的转移函数都是光滑的，由该图册唯一决定一个极大光滑图册，称为球面的标准光滑结构。

引入一个图册，其开集为

U _ {i} = \{[ x _ {1}, \dots , x _ {n + 1} ] | x _ {i} \neq 0 \}, \quad i = 1, \dots , n + 1.

同胚映射为 \varphi_{i}:U_{i}\to \mathbb{R}^{n}

\varphi_ {i} ([ x _ {1}, \dots , x _ {n + 1} ]) = \left(\frac {x _ {1}}{x _ {i}}, \dots , \frac {x _ {i - 1}}{x _ {i}}, \frac {x _ {i + 1}}{x _ {i}}, \dots , \frac {x _ {n + 1}}{x _ {i}}\right).

可以验证 \varphi 是合理定义的，且相互间的转移函数是光滑的。

U \cap N = \{q \in U | x _ {k + 1} (q) = x _ {k + 2} (q) = \dots = x _ {n} (q) = 0 \},

下面给出一个刻画子流形的正则值原像定理，其本质上是隐函数定理。证明从略，读者可参阅文献 [13].

下面我们来说明正交矩阵群

O (n) = \{A \in M _ {n} | A A ^ {\mathrm{T}} = \mathrm{id} \} \subset M _ {n}

是一个光滑子流形。

记 n \times n 对称矩阵的全体为 S_{n}，可将其视为 S_{n} = \mathbb{R}^{\frac{n(n+1)}{2}}。考虑光滑映射 F: M_{n} \to S_{n} = \mathbb{R}^{\frac{n(n+1)}{2}} 为 F(A) = AA^{\mathrm{T}}，则 O(n) = F^{-1}(\mathrm{id})。可以验证正则值原像定理的条件满足，亦即 DF(A) 是满射，\forall A \in O(n)。

如果在流形的定义中我们用上半空间的开集做模型，就会产生带边流形的概念。记

\mathbb {H} ^ {n} = \left\{x = (x _ {1}, \dots , x _ {n}) \in \mathbb {R} ^ {n}; x _ {n} \geqslant 0 \right\}.

为上半空间。它的子集

\partial \mathbb {H} ^ {n} = \{x \in \mathbb {H} ^ {n}; x _ {n} = 0 \}

称为边界。若 x \in \mathbb{H}^n \setminus \partial \mathbb{H}^n，则称其为内点。\mathbb{H}^n 中的开集就是 \mathbb{R}^n 的开集和 \mathbb{H}^n 相交所得的，所以有两种类型，一种是和边界不相交的，另一种是和边界相交的。若开集 U 和边界相交，对于映射 \varphi: U \to \mathbb{H}^n，如果存在一个 \mathbb{R}^n 中一个开集 U' \supset U，使得 \varphi 可以延拓成 U' 上的光滑映射，就称其为 U 上的光滑映射。

进一步，如果所有的转移函数

\varphi_ {\beta} \circ \varphi_ {\alpha} ^ {- 1}: \varphi_ {\alpha} (U _ {\alpha} \cap U _ {\beta}) \to \varphi_ {\beta} (U _ {\alpha} \cap U _ {\beta})

都是光滑的，则称 M 为一 n 维光滑带边流形。流形 M 中被坐标卡映射到 \partial \mathbb{H}^n 的点称为 M 的边界，记为 \partial M，可以证明 \partial M 构成一个无边的 n - 1 维子流形（见本章习题10）。

下面设 X^n 为一光滑 n 维流形，其有一个微分同胚于 \mathbb{D}^k \times \mathbb{S}^{n - k} 的子流形，注意到

\partial (\mathbb {D} ^ {k} \times \mathbb {S} ^ {n - k}) = \mathbb {S} ^ {k - 1} \times \mathbb {S} ^ {n - k} = \partial (\mathbb {S} ^ {k - 1} \times \mathbb {D} ^ {n - k + 1}),

所以令 Y = \mathbb{S}^{k - 1}\times \mathbb{D}^{n - k + 1}，id：\mathbb{S}^{k - 1}\times \mathbb{S}^{n - k}\to \mathbb{S}^{k - 1}\times \mathbb{S}^{n - k} = \partial Y 为恒同映射，则可以得到贴空间 (X\setminus \mathbb{D}^k\times \mathbb{S}^{n - k})\cup_{\mathrm{id}}Y。可以证明所得拓扑空间为光滑流形，这被称为在 X 上做了一次余维数为 k 的手术。

最后再介绍一种得到流形的方法：通过群作用。

G \times M \ni (g, x) \mapsto g x \in M

对于 x \in M，记

G _ {x} = \{g | g x = x \},

称为 x 的稳定子群。

G x = \{g x | g \in G \}

称为 x 的轨道。M 中两个元素如果在同一个轨道中，就称它们是等价的。M 在这个等价关系下的商空间记为 M / G。

如果 G_{x} = \{e\} 对所有的 x \in M 成立，就称该群作用为自由的。如果对任意紧集 K \subset M，只有有限多个 g \in G 满足 gK \cap K \neq \emptyset，就称该作用是纯不连续作用。

\mathbb {Z} ^ {n} = \{(m _ {1}, \dots , m _ {n}); m _ {i} \in \mathbb {Z} ^ {n} \}

\mathbb {S} ^ {2 n + 1} = \{(z _ {0}, \dots , z _ {n}) \in \mathbb {C} ^ {n + 1}; | z _ {0} | ^ {2} + \dots + | z _ {n} | ^ {2} = 1 \}.

设 p 为自然数，取 q_{1}, \cdots, q_{n} 为和 p 互素的整数。定义 p 阶循环群 Z_{p} 在 S^{n+1} 上的作用为

\iota \left(z _ {0}, \dots , z _ {n}\right) = \left(\zeta z _ {0}, \zeta^ {q _ {1}} z _ {1}, \dots , \zeta^ {q _ {n}} z _ {n}\right),

这里 \iota 是 Z_{p} 的生成元，\zeta = \exp(2\pi i/p)。易知该作用是自由且纯不连续的，我们称商流形 S^{2n+1}/Z_{p} = L(p; q_{1}, \cdots, q_{n}) 为棱镜空间。

3.2 切空间

对于一个位于三维空间中的曲面，某点的切空间非常直观。一般流形并没有这么直观的看法来定义切向量。我们通过将切向量看作是作用在函数上的一个算子来定义流形上的切向量。

p 点处所有切向量的全体记为 T_{p}M，称为 p 点的切空间。

在证明该命题之前，先证明下述事实：设 f, g \in C^{\infty}(M)，如果存在 p 的邻域 U 使得 f(x) = g(x), \forall x \in U，则有

v (f) = v (g).

不失一般性，可以假定在 U 是一个局部坐标卡，且 \varphi(U) = B_2(0) \subset \mathbb{R}^n，\varphi(p) = 0。我们知道存在光滑函数 h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} 满足

(1) h(x)\equiv 1,\forall |x|\leqslant 1;

(2) h(x)\equiv 0,\forall |x|\geqslant 2;

(3) 0 \leqslant h(x) \leqslant 1, \forall x。

这样的函数被称为一个截断函数。构造的要点在于利用 f(x) = \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}} （细节留作习题）。我们将其移植回流形上，也就是考虑

\bar {h} (x) = \left\{ \begin{array}{l l} h \circ \varphi (x), & x \in U, \\ 0, & x \notin U. \end{array} \right.

易知，\bar{h} \in C^{\infty}(M)，并且 (f - g)\bar{h} \equiv 0。于是根据 Leibniz 法则，有

0 = v ((f - g) \bar {h}) = v (f - g) \bar {h} (p) + (f - g) (p) v (\bar {h}),

由此知 v(f)=v(g)。

上述事实表明 v(f) 只和 f 在 p 点附近的值有关，这个“附近”可以要多小有多小。命题 3.2 的证明 我们选定一个包含 p 的坐标卡 (U, \varphi, x_{1}, \cdots, x_{n})，根据上述事实我们只需考虑定义在 U 上的光滑函数。同时假定 \varphi(U) = B_{2}(0), \varphi(p) = 0。

不难验证 \left.\frac{\partial}{\partial x_i}\right|_p:f\to \frac{\partial f\circ\varphi^{-1}}{\partial x_i}\bigg|_0 定义了一个切向量，这个切向量就是对函数沿着 x_{i} 分量在 p 点求偏导。

下面证明

T _ {p} M = \operatorname{span} \left\{\frac {\partial}{\partial x _ {i}} \Big | _ {p} \right\} _ {i = 1} ^ {n}.

记 f_{i} = x_{i}\circ \varphi，取定一切向量 v，设 v(f_{i}) = a_{i}。断言：

v = \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i} \frac {\partial}{\partial x _ {i}} \Big | _ {p}.\tag{3.1}

为此任取 f \in C^{\infty}(U)，记 F = f \circ \varphi^{-1}，对任意 x \in \varphi(U)，有

F (x) - F (0) = \int_ {0} ^ {1} \frac {\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t} (t x) \mathrm{d} t = \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} \int_ {0} ^ {1} \frac {\partial F}{\partial x _ {i}} (t x) \mathrm{d} t.

记 g_{i}(x) = \int_{0}^{1}\frac{\partial F}{\partial x_{i}} (tx)\mathrm{d}t, 我们就可以将 F(x) 表示成

F (x) = F (0) + \sum_ {i = 1} ^ {n} x _ {i} g _ {i} (x),

并且 g_{i}(0) = \frac{\partial F}{\partial x_{i}} (0).

将这样的分解移植回流形上，再根据 Leibniz 法则我们就有

v (f) = \sum_ {i = 1} ^ {n} v (f _ {i}) g _ {i} (0) = \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i} \frac {\partial}{\partial x _ {i}} \Big | _ {p} (f).

由 f 的任意性，(3.1) 式得证。

\psi \circ \varphi^ {- 1} (x _ {1}, \dots , x _ {n}) = (y _ {1} (x _ {1}, \dots , x _ {n}), \dots , y _ {n} (x _ {1}, \dots , x _ {n})).

\left\{\frac{\partial}{\partial x_i}\bigg|_p\right\}_{i = 1}^n 和 \left\{\frac{\partial}{\partial y_j}\bigg|_p\right\}_{j = 1}^n 都构成 T_{p}M 的一组基。它们之间的关系实际上遵循求导的链式法则：

\left. \frac {\partial}{\partial x _ {j}} \right| _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {\partial y _ {i}}{\partial x _ {j}} \frac {\partial}{\partial y _ {i}} \Big | _ {p}.

为证明上式，只需要验证左右两端在任一 f \in C^{\infty}(M) 的作用是相同的。细节留作习题。

下面我们给出切向量一个更加直观的定义。设 \alpha: (-\varepsilon, \varepsilon) \to M 是一个光滑映射，\alpha(0) = p。我们可以将该映射看成是流形 M 上过 p 点的曲线。可以验证下述映射为一切向量：

C ^ {\infty} (M) \ni f \mapsto f \circ \alpha^ {\prime} (0) \in \mathbb {R}.

我们将其记为 \alpha'(0)。反之，\forall v \in T_pM，我们总可以找到一条曲线 \alpha，使得 \alpha(0) = p，\alpha'(0) = v。为了证明这个事实，只需要在一个局部坐标卡里完成验证即可（见本章习题20）。有了切空间的定义，就可以定义光滑映射在一点的切映射。

w (g) = v (g \circ f), \quad \forall g \in C ^ {\infty} (N).

(\mathrm{d} f) _ {p} (v) = \beta^ {\prime} (0).

不难验证，对于光滑映射 F: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n，其映射 Jacobi 矩阵 DF(A) 即为切映射 \mathrm{d}F_A 在标准基下的矩阵表达。

所以浸入和淹没的定义只关注每点的切映射，而嵌入要从整体上考虑映射是否是单射，并且该单射的像带着 N 的子空间拓扑需要和 M 本身同胚。

\beta (t) = (\sin 2 t, \sin t),

\beta (t) = (\mathrm{e} ^ {2 \pi \mathrm{i} t}, \mathrm{e} ^ {2 \pi \mathrm{i} \alpha t}).

它是一个光滑的浸入，也是单射，但不是嵌入。事实上可以证明它的像在环面中是稠密的（见本章习题 19）。

实际上，任何流形可以实现为欧氏空间的子流形，这就是著名的 Whitney 嵌入定理。

根据 Whitney 浸入定理，Klein 瓶一定可以浸入到 R^{3}，但我们知道三维空间中“呈现”的 Klein 瓶一定有自交点，所以这个浸入肯定不是嵌入。不过根据 Whiteny 嵌入定理，Klein 瓶可以不自交地“呈现”在四维欧氏空间中。

此外，一旦将抽象流形 M 嵌入到某个维数的欧氏空间 \mathbb{R}^N 中，那么 T_pM 就可以具象为 M 上过 p 点曲线在 p 点切向量的全体。

上述两个定理的证明可参阅文献 [13]，证明用到了著名的 Sard 定理。

3.3 向量场

如果我们以光滑的方式在流形每点指定一个切向量，我们就得到了流形上的一个光滑向量场。本节将介绍流形上向量场基础理论。

X (p) = \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i} (p) \left(\frac {\partial}{\partial x _ {i}} \Big | _ {p}\right),

类似的，\forall p = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \mathbb{S}^{3}，我们有 (-x_{2}, x_{1}, -x_{4}, x_{3}) \in T_{p} \mathbb{S}^{3}，由此定义了 S^{3} 上一个处处非零的光滑向量场。该向量场可以通过四元数乘法得到：(x_{1} + ix_{2} + jx_{3} + kx_{4})i = -x_{2} + x_{1}i - x_{4}j + x_{3}k。再利用和 j, k 的乘法，我们可以得到了 \mathbb{S}^{3} 上三个处处非零的向量场，而且它们在每点都是线性无关的。

在 \mathbb{S}^2 上存在处处非零的向量场吗？答案是否定的。著名的Poincaré-Hopf定理断言，M 上光滑向量场零点的指标和等于 M 的Euler示性数。先不管向量场零点指标是如何定义的，由于 \mathbb{S}^2 的Euler示性数非零，所以二维球面上的向量场必有零点。二维球面上这个定理有时也被戏称为“毛球定理”。

关于球面向量场有个非常有趣的数学问题：在 S^{n-1} 上最多有几个处处非零且处处线性无关的向量场？可以利用 Clifford 代数和群表示论，给出 S^{n-1} 上 \rho(n) 个处处非零且处处线性无关的向量场。这里 \rho(n) 通过以下三个关系唯一决定：(1) \rho(2^{m}) = 2^{m} - 1, m = 0, 1, 2, 3; (2) \rho(2^{m+4}) = \rho(2^{m}) + 8; (3) \rho(2^{m}q) = \rho(2^{m}), q 为奇数. 1962 年，Frank Adams 利用同伦论和拓扑 K 理论证明了 S^{n-1} 上最多就只有 \rho(n) 个处处非零且处处线性无关的向量场。

从维数角度，显然有 \rho(n) \leqslant n - 1。简单计算会发现只有在 \mathbb{S}^1, \mathbb{S}^3, \mathbb{S}^7 上有相同于维数个处处非零且处处线性无关的向量场。换句说法就是只有一、三、七维球面的切丛是可平凡化的，这背后有个有趣的对应：除 \mathbb{R} 外，只有 \mathbb{R}^2 （复数），\mathbb{R}^4 （四元数）和 \mathbb{R}^8 （八元数）是可除代数。

给定 X \in \mathcal{X}(M)，它可以自然作用在 f \in C^{\infty}(M) 上，即

X (f) (p) = X (p) (f).

如此得到一个映射

C ^ {\infty} (M) \ni f \to X (f) \in C ^ {\infty} (M).

该映射满足

(1) （线性）X(a f + b g) = a X(f) + b X(g)；

(2) （Leibniz 法则）X(fg) = X(f)g + fX(g)。

满足上述两个条件的 C^\infty (M) 间的映射称为一个导子。反之，如果有 C^\infty (M) \to C^\infty (M) 的映射，满足上述两条性质，显然它在每点对应一个切向量，整体上形成 M 上的一个光滑向量场。据此，可以定义两个向量场之间的李括号运算。

C ^ {\infty} (M) \ni f \to X (Y (f)) - Y (X (f)) \in C ^ {\infty} (M)

[ X, Y ] = \sum_ {i, j = 1} ^ {n} \left(a _ {i} \frac {\partial b _ {j}}{\partial x _ {i}} - b _ {i} \frac {\partial a _ {j}}{\partial x _ {i}}\right) \frac {\partial}{\partial x _ {j}}.\tag{3.2}

证明 对于任意 p 点附近的光滑函数 f，按定义计算

\begin{array}{c} {[ X, Y ] _ {p} f = \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i} \frac {\partial}{\partial x _ {i}} \left(\sum_ {j = 1} ^ {n} b _ {j} \frac {\partial f}{\partial x _ {j}}\right) - \sum_ {i = 1} ^ {n} b _ {i} \frac {\partial}{\partial x _ {i}} \left(\sum_ {j = 1} ^ {n} a _ {j} \frac {\partial f}{\partial x _ {j}}\right)} \\ = \sum_ {i, j = 1} ^ {n} \left(a _ {i} (p) \frac {\partial b _ {j}}{\partial x _ {i}} (p) - b _ {i} (p) \frac {\partial a _ {j}}{\partial x _ {i}} (p)\right) \frac {\partial f}{\partial x _ {j}} (p). \end{array}

因此

[ X, Y ] = \sum_ {i, j = 1} ^ {n} \left(a _ {i} \frac {\partial b _ {j}}{\partial x _ {i}} - b _ {i} \frac {\partial a _ {j}}{\partial x _ {i}}\right) \frac {\partial}{\partial x _ {j}}.

下面的命题可以按定义常规验证，证明从略。

一个线性空间上如果有满足上述三点的二元运算 [\cdot, \cdot]，就被称为一个李代数。

\gamma^ {\prime} (t) = X (\gamma (t)), \quad \forall t \in (a, b),

我们指出求解积分曲线局部上就是求解一个一阶常微分方程组。具体来说，对于给定的向量场 X，设其在一个局部坐标卡下为

X = \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i} (x) \frac {\partial}{\partial x _ {i}}.

设一曲线在此坐标卡下为 \gamma(t)=(x_{1}(t),\cdots,x_{n}(t))，那么 \gamma 为 X 的积分曲线当且仅当

\frac {\mathrm{d} x _ {i}}{\mathrm{d} t} (t) = a _ {i} (x _ {1} (t), \dots , x _ {n} (t)), \quad i = 1, 2, \dots , n.\tag{3.3}

我们引述关于常微分方程组 (3.3) 的一般性理论。

根据上述定理，对于给定的向量场 X \in \mathcal{X}(M)，\forall p \in M，存在经过 p 的积分曲线，且该积分曲线有一个最大定义区间 (a_p, b_p)，-\infty \leqslant a_p < b_p \leqslant \infty。将该曲线记为 \gamma_p(t), t \in (a_p, b_p)，\gamma_p(0) = p。根据解的存在唯一性，有如下性质：

\gamma_ {\gamma_ {p} (t)} (s) = \gamma_ {p} (s + t).\tag{3.4}

很明显两条积分曲线或者重合，或者不相交，整个流形可以写成不同积分曲线的无交并。

记号 \gamma_{p}(t) 是指过 p 点的积分曲线，如果转变一个观点，将时刻 t 固定，p 变动，将之记为 \varphi_{t}(p):=\gamma_{p}(t)。此时，如果 X 是完备的，则 \varphi_{t}(p) 对所有的 p 就是有定义的，且根据解对初值的光滑依赖性，\varphi_{t}:M\to M 是一个光滑映射。再根据 (3.4) 式，易知

\varphi_ {t} \circ \varphi_ {s} = \varphi_ {t + s}, \quad \varphi_ {0} = \mathrm{id}.

这些性质表明每个 \varphi_{t} 实际上是 M 到自身的一个微分同胚，而 \mathbb{R} \to \varphi_{t} 实际上是一个从实数加法群到流形自身上微分同胚群 \operatorname{Diff}(M) 的一个群同态。称 \{\varphi_{t}\}_{t \in \mathbb{R}} 为流形 M 上的一个单参数变换群。

当向量场 X 不是完备的时候，对于给定的时刻 t, \varphi_{t} 的定义域是 M 的一个开子集，下式在左右两边都有定义的地方仍然成立：

\varphi_ {t} \circ \varphi_ {s} (p) = \varphi_ {t + s} (p).

一般称 \{\varphi_{t}\} 为由 X 生成的单参数局部变换群。

证明 由定理3.5知，\forall p \in M，存在开邻域 U_p 以及 \varepsilon_p > 0，使得对任意 q \in U_p，过该点的 X 的积分曲线在 (- \varepsilon_p, \varepsilon_p) 是有定义的。\{U_p\}_{p \in M} 构成了 M 的一个开覆盖，由于 M 是紧致的，就存在有限子覆盖：

M \subset \bigcup_ {i = 1} ^ {n} U _ {p _ {i}}.

令

\varepsilon = \min \{\varepsilon_ {p _ {1}}, \dots , \varepsilon_ {p _ {n}} \} > 0,

则过任一点的积分曲线有一个一致的定义域 (- \varepsilon, \varepsilon)，由此立知

a _ {p} = - \infty , \quad b _ {p} = \infty , \quad \forall p \in M.

(\mathrm{d} f) _ {p} (X (p)) \in T _ {f (p)} N, \quad p \in M.

取遍所有的 p \in M，可以得到 N 上沿着 f(M) 的一个光滑向量场，称为 f 将 X 推送到 N 上，记为 f_{*}(X)。

下面的命题揭示了李括号运算可以通过单参数局部变换群对向量场的推送实现。

[ X, Y ] = \lim _ {t \to 0} \frac {(\varphi_ {- t}) _ {*} (Y) - Y}{t}.

证明 首先对于向量场 X 在 f 上的作用，若设 \{\varphi_{t}\} 为 X 对应的单参数局部变换群，则有

X (f) (p) = \lim _ {t \rightarrow 0} \frac {f (\varphi_ {t} (p)) - f (p)}{t} = \lim _ {t \rightarrow 0} \frac {\varphi_ {t} ^ {*} \circ f (p) - f (p)}{t}.

其次注意到

\left(\left(\varphi_ {- t}\right) _ {*} Y\right) f \doteq Y \left(f \circ \varphi_ {- t}\right) \circ \varphi_ {t} = \varphi_ {t} ^ {*} \left(Y \left(f \circ \varphi_ {- t}\right)\right),

所以

\begin{array}{r l} & {\underset {t \to 0} {\lim} \frac {(\varphi_ {- t}) _ {*} Y - Y}{t} f = \underset {t \to 0} {\lim} \frac {\varphi_ {t} ^ {*} (Y (f \circ \varphi_ {- t})) - \varphi_ {t} ^ {*} (Y f) + \varphi_ {t} ^ {*} (Y f) - Y f}{t}} \\ & {\qquad = \underset {t \to 0} {\lim} \varphi_ {t} ^ {*} \left\{Y \left(\frac {f \circ \varphi_ {- t} - f}{t}\right) \right\} + \underset {t \to 0} {\lim} \frac {\varphi_ {t} ^ {*} (Y f) - Y f}{t}} \\ & {\qquad = \underset {t \to 0} {\lim} \varphi_ {t} ^ {*} Y \left\{\left(\frac {\varphi_ {- t} ^ {*} f - f}{t}\right) \right\} + \underset {t \to 0} {\lim} \frac {\varphi_ {t} ^ {*} (Y f) - Y f}{t}} \\ & {\qquad = Y (- X f) + X (Y f) = [ X, Y ] f.} \end{array}

[ X, Y ] \equiv 0

证明 首先注意 \varphi_t \circ \psi_s = \psi_s \circ \varphi_t 是指在两边都有定义情况下等号是成立的，也就是说 \forall p \in M，存在其邻域 V，以及 t_0 < 0 < t_1, s_0 < 0 < s_1，使得

\varphi_ {t} \circ \psi_ {s} (q) = \psi_ {s} \circ \varphi_ {t} (q), \quad \forall q \in V, t \in (t _ {0}, t _ {1}), s \in (s _ {0}, s _ {1}).

对于给定的 p \in M，因为 \psi_s(p) 是 Y 过 p 的积分曲线，所以

\left. \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \psi_ {s} (p) \right| _ {s = 0} = Y _ {p}.

另一方面，当 t 固定时，\varphi_t \circ \psi_s \circ \varphi_t^{-1}(p) 是向量场 (\varphi_t)_* Y 过 p 的积分曲线，所以有

\left. \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \varphi_ {t} \circ \psi_ {s} \circ \varphi_ {t} ^ {- 1} (p) \right| _ {s = 0} = ((\varphi_ {t}) _ {*} (Y)) _ {p}.

如果 \varphi_t\circ \psi_s = \psi_s\circ \varphi_t，那么就有 (\varphi_t)_* (Y) = Y，再根据引理3.1知

[ X, Y ] = \lim _ {t \to 0} \frac {(\varphi_ {t}) _ {*} (Y) - Y}{- t} = 0.

反之，如果 [X, Y] \equiv 0，先证明 Y 在 \varphi_t 下是不变的，即 (\varphi_t)_*(Y) = Y。视 (\varphi_t)_*(Y) 为关于 t 的一族向量场，对其在时刻 t = t_0 求导有

\begin{array}{r l} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left((\varphi_ {t}) _ {*} Y\right) \Bigg | _ {t = t _ {0}} & = \lim _ {t \to 0} \frac {(\varphi_ {t _ {0} + t}) _ {*} Y - (\varphi_ {t _ {0}}) _ {*} Y}{t} \\ & = \lim _ {t \to 0} (\varphi_ {t _ {0}}) _ {*} \frac {(\varphi_ {t}) _ {*} Y - Y}{t} \\ & = (\varphi_ {t _ {0}}) _ {*} [ - X, Y ] = 0. \end{array}

也就是说 (\varphi_t)_*(Y) 和时间无关，所以 (\varphi_t)_*(Y) = (\varphi_0)_*(Y) = Y。

注意到由 (\varphi_t)_*(Y) 生成的单参数变换群是 \{\varphi_t \circ \psi_s \circ \varphi_t^{-1}\}_s，于是就有 \varphi_t \circ \psi_s \circ \varphi_t^{-1} = \psi_s。

3.4 分布、Frobenius 定理

向量场在每点切空间指定一个切向量，我们也可以指定切空间的线性子空间，这样得到流形上的分布。

T _ {p} N = \mathcal {D} (p), \quad \forall p \in N,

很显然，1 维光滑分布等价于一个处处非零的光滑向量场，其积分子流形就是向量场的积分曲线。对于给定的分布 \mathcal{D} 和向量场 X，如果 X(p) \in \mathcal{D}(p), \forall p \in M，则称 X 是属于 \mathcal{D} 的向量场。

证明 给定 p \in M，设 N 为分布 D 过 p 的积分子流形。我们可以选取 p' 点附近局部坐标卡 (U, x_{1}, \cdots, x_{n})，使得 N 对应于 x_{r+1} = x_{r+2} = \cdots = x_{n} = 0，这样 \frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_{r}} 属于 D。记

X = \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i} \frac {\partial}{\partial x _ {i}}, Y = \sum_ {i = 1} ^ {n} b _ {i} \frac {\partial}{\partial x _ {i}},

由于 X, Y 属于 \mathcal{D}，所以

a _ {j} \left(x _ {1}, \dots , x _ {r}, 0, \dots , 0\right) = b _ {j} \left(x _ {1}, \dots , x _ {r}, 0, \dots , 0\right) = 0, \quad \forall j > r.

于是

\frac {\partial a _ {j}}{\partial x _ {i}} (0) = \frac {\partial b _ {j}}{\partial x _ {i}} (0) = 0, \quad i \leqslant r, j > r.

进而

c _ {j} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(a _ {i} \frac {\partial b _ {j}}{\partial x _ {i}} - b _ {i} \frac {\partial a _ {j}}{\partial x _ {i}}\right) = 0, \quad \forall j > r.

根据 (3.2) 式，[X, Y] = \sum_{i=1}^{n} c_i \frac{\partial}{\partial x_i}，所以 [X, Y] 属于 \mathcal{D}。

证明 根据命题 3.4，我们只需证明 D 是对合的 \Longrightarrow D 是完全可积的。

设 D 为一个 r 维对合的分布。在一个局部坐标卡 (U, x_{1}, \cdots, x_{n}) 上，我们可以取属于 D 的 r 个处处线性无关的向量场 Y_{1}, \cdots, Y_{r}，不妨设

Y _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {n} a _ {i j} \frac {\partial}{\partial x _ {j}}, \quad i = 1, \dots , r.

由于 Y_{1}, \cdots, Y_{r} 处处线性无关，通过交换 x_{i} 的相互位置，可以假设

\det \left(a _ {i j} (q)\right) _ {i, j = 1, \dots , r} \neq 0, \quad q \in U.

(b _ {i j} (q)) = (a _ {i j} (q)) ^ {- 1}, \quad q \in U.

并设

X _ {i} = \sum_ {j = 1} ^ {r} b _ {i j} Y _ {j}, \quad i = 1, \dots , r.

则

X _ {i} = \frac {\partial}{\partial x _ {i}} + \sum_ {j = r + 1} ^ {n} c _ {i j} \frac {\partial}{\partial x _ {j}}.\tag{3.5}

X_{1},\cdots,X_{r} 也是 U 上处处线性无关属于 D 的。因为 D 是对合的，所以可以设

[ X _ {i}, X _ {j} ] = \sum_ {k = 1} ^ {r} f _ {k} X _ {k}.

而表达式 (3.5) 表明 [X_i, X_j] 只能是 \frac{\partial}{\partial x_j} 的线性组合，其中 j \geqslant r + 1。因此 f_k \equiv 0，即 [X_i, X_j] \equiv 0。

根据引理 3.2，由 X_{i} 生成的局部单参数变换群 \varphi_{t}^{i} 彼此是交换的：

\varphi_ {t} ^ {i} \circ \varphi_ {s} ^ {j} = \varphi_ {s} ^ {j} \circ \varphi_ {t} ^ {i}, i, j = 1, \dots , r.

设 V 为 \mathbb{R}^r 原点附近的邻域，令 \varphi: V \to M 为

V \ni (t _ {1}, \dots , t _ {r}) \mapsto \varphi_ {t _ {1}} ^ {1} \circ \dots \circ \varphi_ {t _ {r}} ^ {r} (p) \in M.\tag{3.6}

设 \varphi(0) = p, \varphi 在原点的切映射满足

\varphi_ {*} \left(\frac {\partial}{\partial t _ {i}}\right) = X _ {i} (p), \quad i = 1, \dots , r.

由于 X_{1}, \cdots, X_{r} 在 p 点线性无关，根据隐函数定理，通过适当缩小 V, \varphi: V \rightarrow M 便是到像的微分同胚，其像集记为 N，很显然 N 为 M 的子流形。断言：N 即为 D 过 p 的积分子流形。

显然在 p 点有 T_{p}N = \mathcal{D}_{p}。所以还需要证明 T_{q}N = \mathcal{D}_{q}, \forall q \in N。根据定义，设

q = \varphi (t _ {1}, \dots , t _ {r}) = \varphi_ {t _ {1}} ^ {1} \circ \dots \circ \varphi_ {t _ {r}} ^ {r} (p).

由于 \varphi_t^i 交换，将上式重写为

q = \varphi_ {t _ {i}} ^ {i} \circ \varphi_ {t _ {1}} ^ {1} \circ \dots \circ \varphi_ {t _ {i - 1}} ^ {i - 1} \circ \varphi_ {t _ {i + 1}} ^ {i + 1} \circ \dots \circ \varphi_ {t _ {r}} ^ {r} (p).

固定所有的 t_j, j \neq i，并微小变动 t_i，就得到 N 上过 q 的一条曲线，而该曲线实际上是 X_i 的积分曲线，也就是说该曲线在 q 的切向量即为 X_i(q)。再由 i 和 q 的任意性，得 T_q N = \mathcal{D}_q, \forall q \in N。

3.5 微分形式

3.5.1 微分形式之代数

设 V 是一个实数域上的 n 维线性空间，取定 V 的一组基 \{e_i\}_{i=1}^n。对于 2 \leqslant k \leqslant n，引入元素

e _ {i _ {1}} \wedge \dots \wedge e _ {i _ {k}}, \quad 1 \leqslant i _ {1} <   i _ {2} <   \dots <   i _ {k} \leqslant n,

并规定它们构成一个新的线性空间 \Lambda^k V 的一组基，这样 \dim (\Lambda^k V) = \binom{n}{k}。默认 \Lambda^0 V = \mathbb{R}, \Lambda^1 V = V，再构造直和：

\Lambda^ {*} V = \bigoplus_ {k = 0} ^ {n} \Lambda^ {k} V = \Lambda^ {0} V \oplus \Lambda^ {1} V \oplus \dots \oplus \Lambda^ {n} V.

得一线性空间，其维数为 \dim (\Lambda^{*}V) = 2^{n}。规定 e_i 和 e_j 相乘之产物为 e_i \wedge e_j，并且满足反交换律：e_i \wedge e_j = -e_j \wedge e_i。该乘法以显然的方式延拓成 \Lambda^{*}V 上的乘法，使其成为一个代数，称为 V 的外代数。通过不同基的选取构造出来的外代数都是同构的。

一个抽象的说法如下：

X \wedge Y = - Y \wedge X

\omega : \underbrace {V \times \cdots \times V} _ {k} \longrightarrow \mathbb {R}

\omega \left(X _ {1}, \dots , a X _ {i} + b X _ {i} ^ {\prime}, \dots , X _ {k}\right) = a \omega \left(X _ {1}, \dots , X _ {i}, \dots , X _ {k}\right) + b \omega \left(X _ {1}, \dots , X _ {i} ^ {\prime}, \dots , X _ {k}\right);

\omega \left(X _ {\sigma (1)}, \dots , X _ {\sigma (k)}\right) = \mathrm{sgn} (\sigma) \omega \left(X _ {1}, \dots , X _ {k}\right),

V 上全体 k 次交替形式记为 \mathcal{A}^{k}(V)。

下面将说明

\mathcal {A} ^ {k} (V) = \Lambda^ {k} V ^ {*}.

为此，取 \alpha_{i} \in V^{*}, i = 1, \cdots, k, 则有 \omega = \alpha_{1} \wedge \cdots \wedge \alpha_{k} \in \Lambda^{k} V^{*}。对 X_{1}, \cdots, X_{k} \in V 定义

\iota_ {k} (\omega) \left(X _ {1}, \dots , X _ {k}\right) = \frac {1}{k !} \det \left(\alpha_ {i} \left(X _ {j}\right)\right).

可以验证 \iota_{k}(\omega) 是一个 V 上的 k 次交替形式。由于 \Lambda^{k}V^{*} 中的元素都是形如 \alpha_{1}\wedge\cdots\wedge\alpha_{k} 的线性组合，将上述定义按显然的方式做线性延拓，这样每个 \Lambda^{k}V^{*} 中的元素都可以看成一个 V 上的 k 次交替形式。

记

\mathcal {A} ^ {*} (V) = \bigoplus_ {k = 0} ^ {\infty} \mathcal {A} ^ {k} (V).

将每一次数上的映射 \iota_{k} 合起来看成映射

\iota : \Lambda^ {*} V ^ {*} \longrightarrow \mathcal {A} ^ {*} (V).

\begin{array}{l} \iota (\omega) \wedge \iota (\eta) (X _ {1}, \dots , X _ {k + l}) \\ = \frac {1}{(k + l) !} \sum_ {\sigma \in A _ {k + l}} \operatorname{sgn} (\sigma) \omega (X _ {\sigma (1)}, \dots , X _ {\sigma (k)}) \eta (X _ {\sigma (k + 1)}, \dots , X _ {\sigma (k + l)}). \end{array}

在 p 点附近一给定的坐标卡 (U, x_{1}, \cdots, x_{n}) 下，可知

T _ {p} M = \operatorname{span} \left\{\frac {\partial}{\partial x _ {1}}, \dots , \frac {\partial}{\partial x _ {n}} \right\}.

用 dx_{1}, dx_{2}, \cdots, dx_{n} 来表示其对偶基，所以

\mathrm{d} x _ {i _ {1}} \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {2}} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {k}}, \quad 1 \leqslant i _ {1} <   i _ {2} <   \dots <   i _ {k} \leqslant n

构成 \Lambda^{k}T_{p}^{*}M 的一组基。为了简单起见，令 (i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{k}) = I，并记 dx_{i_{1}} \wedge dx_{i_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} = dx_{I}。|I| = k 表示指标长度。

\omega (p) = \sum_ {| I | = k} \varphi_ {I} (p) \mathrm{d} x _ {I}, \quad p \in U.

回忆一下向量场的定义，读者会发现两者如出一辙。通常要在流形上定义一个光滑的“场”就是先从每点切空间出发通过代数操作得到一个线性代数产物，再以光滑的方式每点取一元素得一整体定义的“场”.

根据 \mathcal{A}^{k}(V)=\Lambda^{k}V^{*}，我们有下述等价定义：

\omega \left(X _ {1}, \dots , f X _ {i} + g X _ {i} ^ {\prime}, \dots , X _ {k}\right) = f \omega \left(X _ {1}, \dots , X _ {i}, \dots , X _ {k}\right) + g \omega \left(X _ {1}, \dots , X _ {i} ^ {\prime}, \dots , X _ {k}\right);

\omega \left(X _ {\sigma (1)}, \dots , X _ {\sigma (k)}\right) = \operatorname{sgn} (\sigma) \omega \left(X _ {1}, \dots , X _ {k}\right),

通常把流形 M 上的光滑 k 形式全体记为 \mathcal{A}^{k}(M)，约定 \mathcal{A}^{0}(M)=C^{\infty}(M)，并记

\mathcal {A} ^ {*} (M) = \bigoplus_ {k = 0} ^ {n} \mathcal {A} ^ {k} (M).

3.5.2 微分形式之分析

下面我们在 \mathcal{A}^{*}(M) 上定义一些运算。

1. 外积

给定 \omega\in\mathcal{A}^{k}(M)，以及 \eta\in\mathcal{A}^{l}(M)，

\mathcal {A} ^ {k + l} (M) \ni \omega \wedge \eta (p) := \omega (p) \wedge \eta (p).

此运算即为逐点外积之于整个流形。

在局部坐标下，假设 \omega = f \, dx_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}, \eta = g \, dx_{j_{1}} \wedge \cdots \wedge dx_{j_{l}} 为两个单项式，则

\omega \wedge \eta = f g \mathrm{d} x _ {i _ {1}} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {k}} \wedge \mathrm{d} x _ {j _ {1}} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {j _ {l}}.

形式上看，外积给出一个双线性运算：

\mathcal {A} ^ {k} (M) \times \mathcal {A} ^ {l} (M) \ni (\omega , \eta) \mapsto \omega \wedge \eta \in \mathcal {A} ^ {k + l} (M),

并且满足：

(1) \eta \wedge \omega = (-1)^{kl}\omega \wedge \eta ;

(2) 对任意向量场 X_{1}, \cdots, X_{k+l} \in \mathfrak{X}(M)，

\omega\wedge\eta(X_{1},\cdots,X_{k+l})

= \frac {1}{(k + l) !} \sum_ {\sigma \in A _ {k + l}} \operatorname{sgn} \sigma \omega \left(X _ {\sigma (1)}, \dots , X _ {\sigma (k)}\right) \eta \left(X _ {\sigma (k + 1)}, \dots , X _ {\sigma (k + l)}\right).

2. 外微分

我们定义一次微分运算

\mathrm{d}: \mathcal {A} ^ {k} (M) \longrightarrow \mathcal {A} ^ {k + 1} (M).

在局部坐标卡下，d 在一单项式 \omega = f dx_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}} 的作用为

\mathrm{d} \omega = \sum_ {j = 1} ^ {n} \frac {\partial f}{\partial x _ {j}} \mathrm{d} x _ {j} \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {1}} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {k}}.

再按显然的方式将作用线性延拓至任意形式上。

因为该定义是通过局部坐标描述的，所以就需要验证该定义和坐标选取无关。这是一个非常好的练习，就留给读者了。

证明 根据外微分运算的线性性质，我们只需对一个 k 次微分单项式 \omega = f dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} 验证 (1)。因为

\mathrm{d} \omega = \sum_ {j = 1} ^ {n} \frac {\partial f}{\partial x _ {j}} \mathrm{d} x _ {j} \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {1}} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {k}},

在这个和式中，只有当 j \neq i_{1}, \cdots, i_{k} 时，对应的项才非零。继续外微分运算知

\begin{array}{l} \mathrm{d} \circ \mathrm{d} (\omega) = \sum_ {j, k \notin \{i _ {1}, \dots , i _ {k} \}} = \frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {k} \partial x _ {j}} \mathrm{d} x _ {k} \wedge \mathrm{d} x _ {j} \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {1}} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {k}} \\ = \sum_ {j <   k, j, k \notin \{i _ {1}, \dots , i _ {k} \}} \left(\frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {k} \partial x _ {j}} - \frac {\partial^ {2} f}{\partial x _ {j} \partial x _ {k}}\right) \mathrm{d} x _ {k} \wedge \mathrm{d} x _ {j} \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {1}} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {k}} = 0. \end{array}

(2) 也只需对单项式验证即可，作为练习留给读者。

外微分运算有如下性质，具体证明可参阅文献 [15].

\begin{array}{r l} & {\mathrm{d} \omega (X _ {1}, \dots , X _ {k + 1})} \\ & {\qquad = \frac {1}{k + 1} \left\{\sum_ {i = 1} ^ {k + 1} (- 1) ^ {i + 1} X _ {i} \left(\omega \left(X _ {1}, \dots , \widehat {X} _ {i}, \dots , X _ {k + 1}\right)\right) \right.} \\ & {\qquad \left. + \sum_ {i <   j} (- 1) ^ {i + j} \omega \left([ X _ {i}, X _ {j} ], X _ {1}, \dots , \widehat {X} _ {i}, \dots , \widehat {X} _ {j}, \dots , X _ {k + 1}\right) \right\}.} \end{array}

\mathrm{d} \omega (X, Y) = \frac {1}{2} \{X \omega (Y) - Y \omega (X) - \omega ([ X, Y ]) \} \quad (\omega \in \mathcal {A} ^ {1} (M)).

3. 拉回

通过光滑映射

f: M \to N,

可以将 N 上的光滑微分形式拉回到 M. 对于任意 X_{1}, \cdots, X_{k} \in \mathfrak{X}(M)，定义

f ^ {*} \omega (X _ {1}, \dots , X _ {k}) := \omega (f (p)) (\mathrm{d} f _ {p} (X _ {1}), \dots , \mathrm{d} f _ {p} (x _ {k})).

根据定义3.25知 f^{*}\omega \in \mathcal{A}^{*}(M)。我们称 f^{*}(\omega) 为 \omega 在映射 f 下的拉回。微分形式关于光滑映射的拉回的自然性体现在下述命题中，证明留作练习。

4. 内乘

设 M 为一光滑流形，对一个光滑 k 形式 \omega，以及光滑向量场 X \in \mathfrak{X}(M)，令

(i (X) (\omega)) \left(X _ {1}, \dots , X _ {k - 1}\right) = k \omega \left(X, X _ {1}, \dots , X _ {k - 1}\right), \quad \forall X _ {1}, \dots , X _ {k - 1} \in \mathfrak {X} (M).

根据定义 3.25，上述方式给出一个光滑 k-1 形式。我们称映射

\mathcal {A} ^ {k} (M) \ni \omega \longrightarrow i (X) (\omega) \in \mathcal {A} ^ {k - 1} (M)

为关于 X 的内乘。

3.6 de Rham 上同调

到这里，读者可能有点“云山雾罩”了。为什么要在流形上引入微分形式？实际上，微分形式可以看成是流形上的线性代数。它是基于每点切空间的代数结构产生的一种“场”（用向量丛的语言被称为截面），那么这个“场”的形成势必受流形整体的影响，所以对各种各样“场”的深入研究就有机会反过来体现流形整体的拓扑性质。之前提及的 Poincaré-Hopf 定理就是流形上向量场和流形整体拓扑关系的一种体现。本节要介绍的 de Rham 上同调就是上述想法之于微分形式和外微分运算后得到的关于流形的丰硕信息。

\mathcal{A}^{k}(M) 是流形上光滑 k 形式的全体，它在逐点加法和数乘下构成一个线性空间。外微分运算

\mathrm{d}: \mathcal {A} ^ {k} (M) \longrightarrow \mathcal {A} ^ {k + 1} (M)

是一个线性映射。

我们关心两个特殊的线性子空间：

\begin{array}{l} \mathcal {Z} ^ {k} (M) = \operatorname{Ker} \left(\mathrm{d}: \mathcal {A} ^ {k} (M) \to \mathcal {A} ^ {k + 1} (M)\right), \\ \mathcal {B} ^ {k} (M) = \operatorname{Im} \left(\mathrm{d}: \mathcal {A} ^ {k - 1} (M) \to \mathcal {A} ^ {k} (M)\right). \end{array}

称 \mathcal{Z}^k (M) 中的元素为 k 次闭形式，\mathcal{B}^k (M) 为 k 次恰当形式。由于 \mathrm{d}\circ \mathrm{d}\equiv 0, 所以 \mathcal{B}^k (M) 为 \mathcal{Z}^k (M) 的线性子空间。

H _ {d R} ^ {k} (M) = Z ^ {k} (M) / B ^ {k} (M)

H _ {d R} ^ {*} (M) = \bigoplus_ {k = 0} ^ {n} H _ {d R} ^ {k} (M)

0 \to \mathcal {A} ^ {0} (M) \xrightarrow {\mathrm{d}} \mathcal {A} ^ {1} (M) \xrightarrow {\mathrm{d}} \mathcal {A} ^ {2} (M) \xrightarrow {\mathrm{d}} \dots \xrightarrow {\mathrm{d}} \mathcal {A} ^ {n} (M) \to 0

对于一个 k 次闭形式 \omega \in \mathcal{A}^k (M)，用 [\omega] 记它在 H_{dR}^{k}(M) 中的元素，称为 \omega 代表的上同调类。那么根据商空间的定义，有

[ \omega ] = [ \omega^ {\prime} ] \quad \text {当且仅当} \quad \omega^ {\prime} = \omega + \mathrm{d} \eta .

这时称 \omega 和 \omega' 是同调的，记为 \omega \sim \omega'。\mathcal{A}^*(M) 上的外积运算自然地诱导了 H_{dR}^*(M) 上的一个乘法运算。事实上，对于次数固定的上同调类我们定义

[ \omega ] [ \gamma ] = [ \omega \wedge \gamma ].

再按乘法分配律自然推广。

对于上述定义，首先注意到如果 \omega, \gamma 都是闭形式，则 \omega \wedge \gamma 也是一个闭形式，所以可以谈论其所对应的等价类。其次由于该定义使用了等价类，自然需验证和等价类中代表元的选取无关。为此设 \omega' \in [\omega], \gamma' \in [\gamma] 为两个不同的代表元，所以存在 \alpha, \beta，使得

\omega^ {\prime} = \omega + \mathrm{d} \alpha , \quad \gamma^ {\prime} = \gamma + \mathrm{d} \beta .

接下来证 \omega' \wedge \gamma' \sim \omega \wedge \gamma。设 \omega 为一个 k 形式，有

\begin{array}{r l} \omega^ {\prime} \wedge \gamma^ {\prime} & = (\omega + \mathrm{d} \alpha) \wedge (\gamma + \mathrm{d} \beta) \\ & = \omega \wedge \gamma + \mathrm{d} \alpha \wedge \gamma + \omega \wedge \mathrm{d} \beta + \mathrm{d} \alpha \wedge \mathrm{d} \beta \\ & = \omega \wedge \gamma + \mathrm{d} (\alpha \wedge \gamma + (- 1) ^ {k} \omega \wedge \beta + \alpha \wedge \beta), \end{array}

所以 \omega' \wedge \gamma' \sim \omega \wedge \gamma。

在计算 de Rham 上同调群方面，若 M 为 n 维流形，则对 k < 0 或 k > n 时，自然有 H_{dR}^{k}(M) = 0。

零阶上同调群可以按定义直接计算。

解 对于零阶上同调，只需要考虑 Z^0 = \operatorname{Ker}(\mathrm{d}: \mathcal{A}^0(M) \to \mathcal{A}^1(M))。若 f \in \mathcal{A}^0(M) 满足 \mathrm{d}f = 0，则 f 必是局部为常值的函数，所以 H_{dR}^0(M) 就同构于 \mathbb{R}^k，其中 k 是 M 连通分支的个数。

关于 de Rham 上同调，我们介绍两个重要的性质，它们也可以被认为是计算 de Rham 上同调的重要工具。这两个工具的证明，读者可以参考常规的微分流形教科书，如 [13].

3.6.1 同伦不变性

g \circ f \sim \mathrm{id} _ {M}, \quad f \circ g \sim \mathrm{id} _ {N},

解 对于单点集而言，\mathcal{A}^0 (M) 同构于 \mathbb{R}，其他 \mathcal{A}^k (M) 都是0维线性空间，所以

H _ {d R} ^ {k} (M) = \left\{ \begin{array}{l l} {\mathbb {R},} & {k = 0,} \\ {0,} & {k \text {其他}.} \end{array} \right.

由于星状区域和单点集是同伦等价的，所以有：

该推论表明如果 \omega 是星状区域 U 上的一个闭的 k 形式 (k \geqslant 1)，则它一定是恰当的。上述结论也被称为 Poincaré 引理。由于任意流形每点都有邻域同胚于欧氏的球，这样流形上任何闭的 k 形式局部总是恰当的。

\Phi ([ \omega ]) ([ \gamma ]) = \int_ {\gamma} \omega ,

下面来证明：\Phi 是一个单射（注：实际上这是一个同构，称为 Hurewicz 定理.）

首先注意到 \operatorname{Hom}(\pi_1(M),\mathbb{R}) 在同态的加法和数乘下构成一个线性空间，而 \Phi 是一个线性映射，所以为证单射性，只需证明如果

\Phi ([ \omega ]) ([ \gamma ]) = \int_ {\gamma} \omega = 0, \quad \forall [ \gamma ] \in \pi_ {1} (M),\tag{3.7}

则 [\omega] = 0，即 \omega 是一个恰当形式。为此我们固定一点 p\in M，对于 q\in M，任取一条分段光滑曲线 \gamma 连接 p,q, 定义

f (q) = \int_ {\gamma} \omega .

条件 (3.7) 表明积分与路径无关，所以上式是合理定义的，在局部坐标卡下简单计算易知 \mathrm{d}f = \omega。

由于有限群到实数加群的非平凡群同态是不存在的，所以我们有如下推论：

3.6.2 Mayer-Vietoris 序列

\dots \longrightarrow V _ {p - 1} \stackrel {F _ {p - 1}} {\longrightarrow} V _ {p} \stackrel {F _ {p}} {\longrightarrow} V _ {p + 1} \longrightarrow \dots ,

\dots \stackrel {\delta} {\longrightarrow} H _ {d R} ^ {p} (M) \stackrel {k ^ {*} \oplus l ^ {*}} {\longrightarrow} H _ {d R} ^ {p} (U) \oplus H _ {d R} ^ {p} (V) \stackrel {i ^ {*} - j ^ {*}} {\longrightarrow} H _ {d R} ^ {p} (U \cap V) \stackrel {\delta} {\longrightarrow} H _ {d R} ^ {p + 1} (M) \longrightarrow \dots

利用 M-V 序列，我们可以计算球面的 de Rham 上同调。

H _ {d R} ^ {p} \left(\mathbb {S} ^ {n}\right) \cong \left\{ \begin{array}{l l} \mathbb {R}, & p = 0, n, \\ 0, & 0 <   p <   n. \end{array} \right.\tag{[Unreadable]}

解 首先根据 0 维同调和连通性的关系，H_{dR}^{0}(\mathbb{S}^{n}) = \mathbb{R}, \forall n。我们只需考虑 p \geqslant 1 的情况。为此我们按维数做归纳。首先根据上例提到的 Hurewicz 定理，我们有 H_{dR}^{1}(\mathbb{S}^{1}) = \mathbb{R}。所以结论对于 n = 1 成立。

现设 n \geqslant 2，假设定理对 \mathbb{S}^{n-1} 成立。因为 \mathbb{S}^n 是单连通的，所以根据上例，H_{dR}^1(\mathbb{S}^n) = 0。记 N 和 S 分别为 \mathbb{S}^n 北极和南极点。令 U = \mathbb{S}^n \setminus \{S\}, V = \mathbb{S}^n \setminus \{N\}。U 和 V 都微分同胚于 \mathbb{R}^n，并且 U \cap V 微分同胚于 \mathbb{R}^n \setminus \{0\}，也就是同伦等价于 \mathbb{S}^{n-1}。关于 (U, V) 的 Mayer-Vietoris 序列可以写成

\dots \rightarrow H _ {d R} ^ {p - 1} (U) \oplus H _ {d R} ^ {p - 1} (V) \rightarrow H _ {d R} ^ {p - 1} (U \cap V) \rightarrow H _ {d R} ^ {p} (\mathbb {S} ^ {n}) \rightarrow H _ {d R} ^ {p} (U) \oplus H _ {d R} ^ {p} (V) \rightarrow \dots .

注意到左右两端对于 p > 1 都是平凡的，所以 H_{dR}^{p}(\mathbb{S}^{n}) \cong H_{dR}^{p - 1}(U \cap V) \cong H_{dR}^{p - 1}(\mathbb{S}^{n - 1})。

利用连通性，可知 \mathbb{R} 和 \mathbb{R}^m, m \geqslant 2 是不同胚的；通过基本群，可以论证 \mathbb{R}^2 和 \mathbb{R}^m, m \geqslant 3 是不同胚的；利用同调群，我们可以得到

证明 只需考虑 n, m \geqslant 3 的情况，若 \mathbb{R}^n 和 \mathbb{R}^m 同胚，则 \mathbb{R}^n \setminus 0 和 \mathbb{R}^m \setminus 0 也是同胚的，而前者同伦等价于 \mathbb{S}^{n-1}，后者同伦等价于 \mathbb{S}^{m-1}，但当 n \neq m 时，两者有不同构的 de Rham 上同调群，矛盾。

3.7 积分和 Stokes 定理

为考虑流形上的积分，需引入定向的概念。我们先对有限维线性空间引入定向的概念。如果一线性空间的两组基之间转移矩阵的行列式是正的，就称这两组基是等价的。这个等价关系的等价类就被称为线性空间的定向，所以一个线性空间恰有两个定向。在流形上如果每点切空间选定一个定向，并且这种选择和局部坐标是“协调”的，就称该流形为可定向流形。具体来说，

设 M 为一个 n 维光滑流形，则 \omega \in \mathcal{A}^{n}(M) 在一个局部坐标卡 (U, \varphi, x_{1}, \cdots, x_{n}) 下就形如

\omega = f (x _ {1}, \dots , x _ {n}) \mathrm{d} x _ {1} \wedge \mathrm{d} x _ {2} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {n}.

如果就定义 \omega 在 U 上的积分为

\int_ {U} \omega = \int_ {\varphi (U)} f (x _ {1}, \dots , x _ {n}) \mathrm{d} x _ {1} \mathrm{d} x _ {2} \dots \mathrm{d} x _ {n},\tag{3.8}

那么需要验证该定义与坐标卡的选取无关。设 (U, \psi, y_{1}, \cdots, y_{n}) 为另一个局部坐标卡，这样 \omega 在坐标 (y_{1}, \cdots, y_{n}) 下可表为

\omega = f \left(x _ {1} \left(y _ {1}, \dots , y _ {n}\right), \dots , x _ {n} \left(y _ {1}, \dots , y _ {n}\right)\right) \det \left(\frac {\partial x _ {i}}{\partial y _ {j}}\right) \mathrm{d} y _ {1} \wedge \mathrm{d} y _ {2} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} y _ {n}.

按 (3.8) 式，\int_{U} \omega 也应该为

\int_ {U} \omega = \int_ {\psi (U)} f (x _ {1} (y _ {1}, \dots , y _ {n}), \dots , x _ {n} (y _ {1}, \dots , y _ {n})) \det \left(\frac {\partial x _ {i}}{\partial y _ {j}}\right) \mathrm{d} y _ {1} \mathrm{d} y _ {2} \dots \mathrm{d} y _ {n}.\tag{3.9}

根据多元微积分中的变量代换公式，有

\begin{array}{r l} & {\int_ {\varphi (U)} f (x _ {1}, \dots , x _ {n}) \mathrm{d} x _ {1} \dots \mathrm{d} x _ {n}} \\ & {\qquad = \int_ {\psi (U)} f (x _ {1} (y _ {1}, \dots , y _ {n}), \dots , x _ {n} (y _ {1}, \dots , y _ {n})) \bigg | \det \left(\frac {\partial x _ {i}}{\partial y _ {j}}\right) \bigg | \mathrm{d} y _ {1} \dots \mathrm{d} y _ {n}.} \end{array}

所以如果不同坐标卡之间的转移函数的 Jacobi 矩阵行列式 \left(\det\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial y_{j}}\right)\right) 是正的，(3.8), (3.9) 两式就相同了，也就表明 \int_{U}\omega 的定义是合理的。上述条件正好就是 M 为可定向流形的定义。

于是在可定向流形上，可以合理定义一个 n 形式在某个局部坐标卡上的积分。整体上，对于一个 n 形式 \omega，如果它的支撑集

\operatorname{supp} \omega = \overline {{\{p \in M ; \omega_ {p} \neq 0 \}}}

是紧致的，可以利用单位分解（参见附录 A.3）来定义其积分。（实际上，积分总是可以定义的。这里只不过为了可积性，提出紧支集的条件.）

\int_ {M} \omega = \sum_ {i} \int_ {U _ {i}} f _ {i} \omega .

证明 设 \{V_j\} 为另一个局部有限的坐标卡开覆盖，\{g_j\} 是从属于其的一个单位分解。因为 \sum_{j} g_j = 1，所以

\int_ {U _ {i}} f _ {i} \omega = \sum_ {j} \int_ {U _ {i}} f _ {i} g _ {j} \omega .

由于 f_{i}g_{j}\omega 的支撑集落在 U_{i}\cap V_{j} 中，则有

\int_ {U _ {i}} f _ {i} g _ {j} \omega = \int_ {V _ {j}} f _ {i} g _ {j} \omega .

于是

\sum_ {i} \int_ {U _ {i}} f _ {i} \omega = \sum_ {i, j} \int_ {U _ {i}} f _ {i} g _ {j} \omega = \sum_ {i, j} \int_ {V _ {j}} f _ {i} g _ {j} \omega = \sum_ {j} \int_ {V _ {j}} g _ {j} \omega .

若 M 为一可定向带边流形，我们赋予 \partial M 一个诱导定向。

对于 T_{p}\partial M 的一组基 v_{1},\cdots,v_{n-1}，如果 \nu,v_{1},\cdots,v_{n-1} 为 M 的给定定向，则称其为 \partial M 上的诱导定向。

下面我们可以陈述关于微分形式积分最重要的公式。

\int_ {M} \mathrm{d} \omega = \int_ {\partial M} i ^ {*} (\omega).\tag{3.10}

(e.s.) (8.8)

特别地，如果 M 为一 n 维紧致带边流形，则

\int_ {M} \mathrm{d} \omega = 0, \quad \forall \omega \in \mathcal {A} ^ {n - 1} (M).

证明 由于 (3.10) 式两端关于 \omega 都是线性的，再根据积分的定义，实际上只需要对在坐标卡 (U, \varphi) 上有紧支集的 \omega 验证 (3.10) 式即可。

不失一般性，可以分为 \varphi(U)=B_{1}(0) 和 \varphi(U)=B_{1}^{+}(0) 两种情况。

情况一：\varphi (U) = B_{1}(0)。可设

\omega = \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i} (x) \mathrm{d} x _ {1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {i - 1} \wedge \mathrm{d} x _ {i + 1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {n}.

则

\mathrm{d} \omega = \left(\sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i - 1} \frac {\partial a _ {i}}{\partial x _ {i}}\right) \mathrm{d} x _ {1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {n}.

此时

\int_ {U} \mathrm{d} \omega = \sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i - 1} \int_ {B _ {1} (0)} {\frac {\partial a _ {i}}{\partial x _ {i}}} \mathrm{d} x _ {1} \cdot \cdot \cdot \mathrm{d} x _ {n} = 0.\tag{3.11}

这里用到了 a_{i} 在 B_{1}(0) 具有紧支集。

情况二：\varphi(U)=B_{1}^{+}(0)。由于 a_{n} 在 B_{1}^{+}(0) 上具有紧支集 a_{n}(x_{1},\cdots,x_{n-1},0) 可以非零，继续 (3.11) 式的计算，有

\begin{array}{r l} & {\int_ {U} \mathrm{d} \omega =  \sum_ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i - 1} \int_ {B _ {1} (0)} \frac {\partial a _ {i}}{\partial x _ {i}} \mathrm{d} x _ {1} \cdot \cdot \cdot \mathrm{d} x _ {n}} \\ & {\qquad = (- 1) ^ {n} \int_ {B _ {1} ^ {+} (0) \cap \mathbb {R} ^ {n - 1}} a _ {n} \left(x _ {1}, \cdot \cdot \cdot , x _ {n - 1}, 0\right) \mathrm{d} x _ {1} \cdot \cdot \cdot \mathrm{d} x _ {n - 1}.} \end{array}

而后者恰为 \omega 在边界 \partial U 上的限制后的积分，即 \int_{\partial U} i^{*}(\omega)。

*3.8 de Rham 定理简介

3.8.1 奇异同调

\Delta^ {k} = \left\{x = (x _ {1}, \dots , x _ {k}) \in \mathbb {R} ^ {k}; x _ {1}, \dots , x _ {k} \geqslant 0, x _ {1} + \dots + x _ {k} \leqslant 1 \right\}

\sigma : \Delta^ {k} \to X

对于 i=0,1,\cdots,k，定义 \varepsilon_{i}:\Delta^{k-1}\rightarrow\Delta^{k} 为

\varepsilon_ {0} \left(x _ {1}, \dots , x _ {k - 1}\right) = \left(1 - \sum_ {i = 1} ^ {k - 1} x _ {i}, x _ {1}, \dots , x _ {k - 1}\right)

\varepsilon_ {i} \left(x _ {1}, \dots , x _ {k - 1}\right) = \left(x _ {1}, \dots , x _ {i - 1}, 0, x _ {i}, \dots , x _ {k - 1}\right), \quad i = 1, \dots , k.

定义作用在一个奇异 k 单形上的边缘算子 \partial 为

\partial \sigma = \sum_ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} \sigma \circ \varepsilon_ {i}.\tag{3.12}

实际上此定义就是将 \sigma 在 \Delta^k 的边界上以交错和的方式做限制，并统一其定义域为 \Delta^{k-1}。我们要按显然的线性方式将其拓展到 S_k(X) 上得到边缘算子 \partial: S_k(X) \to S_{k-1}(X)。关于边缘算子一个重要的事实是 \partial \circ \partial \equiv 0 （见本章习题30）。其背后的几何意义是明确的：一个几何体的边界自身是没有边界的。

因为 \partial \circ \partial \equiv 0，我们得到一个链复形

\dots \xrightarrow {\partial} S _ {k + 1} (M) \xrightarrow {\partial} S _ {k} (M) \xrightarrow {\partial} S _ {k - 1} (M) \dots

如此和 de Rham 上同调一样，我们可以定义如下对象：

Z _ {k} (M) = \{c \in S _ {k} (M) | \dot {\partial c} = 0 \},

其中的元素称为 k 维闭链；

B _ {k} (M) = \{c \in S _ {k} (M) | c = \partial d, d \in S _ {k + 1} (M) \},

其中的元素称为 k 维边缘链。易知 B_{k}(M) 是 Z_{k}(M) 正规子群。

H _ {k} (M) = Z _ {k} (M) / B _ {k} (M)

3.8.2 de Rham 定理

代数上，对于链复形 \{S_k(M), \partial\}，可以定义一个对偶上链复形 \{\mathrm{Hom}(S_k(M), \mathbb{Z}), \delta\}，其对应的上同调群称为奇异上同调群，其中 \mathrm{Hom}(S_k(M), \mathbb{Z}) 表示从 S_k(M) 到整数加群的群同态全体，\delta: \mathrm{Hom}(S_k(M), \mathbb{Z}) \to \mathrm{Hom}(S_{k+1}(M), \mathbb{Z}) 定义为 \delta(I)(\sigma) := I(\partial \sigma)，其中 I \in \mathrm{Hom}(S_k(M), \mathbb{Z}), \sigma \in S_{k+1}(M)。读到这里，想必读者联想到了之前介绍的 de Rham上同调：一个由微分形式得到的链复形 \{\mathcal{A}^k(M), d\} 的同调产物。它和我们说的奇异上同调有什么关系呢？由于奇异上同调中的元素来自 \operatorname{Hom}(S_k(M), \mathbb{Z})，也就是将一个奇异 k 链变成整数的同态运算，如此一想，对微分形式作积分岂不是一个天然的候选？

确实利用积分作桥梁可以建立起两个同调之间的联系。首先对奇异同调稍加技术处理。由于奇异链是连续映射，为了适应光滑微分形式，考虑光滑映射

\sigma : \Delta^ {k} \to M,

称其生成的自由 Abel 群为光滑奇异 k 链，记为 S_{k}^{\infty}(M)。于是有光滑的奇异链复形 \{S_{k}^{\infty}(M), \partial\}，这是奇异链复形的一个子复形，但是对于光滑流形而言，两者的同调群是同构的。对偶于 \{S_{k}^{\infty}(M), \partial\} 的链复形产生的上同调群记为 H^{k}(M)，它和奇异上同调群也是同构的。简言之，对于光滑流形而言，通过单形定义的奇异同调并不依赖于映射的正则性。所以我们之后总是假定处理的奇异链是光滑的。

对于给定的 \omega \in \mathcal{A}^k (M)，以及 \sigma \in S_k^\infty (M)，定义

I (\omega) (\sigma) = \int_ {\Delta^ {k}} \sigma^ {*} (\omega).

再按线性方式延拓成 S_{k}^{\infty}(M) 上的线性映射，由此得到

I: \mathcal {A} ^ {k} (M) \to \operatorname{Hom} (S _ {k} ^ {\infty} (M); \mathbb {R}) := S _ {\infty} ^ {k} (M).

I: \mathcal {A} ^ {k} (M) \to S _ {\infty} ^ {k} (M)

\begin{array}{c c c} \mathcal {A} ^ {k} (M) & \stackrel {{d}} {{\longrightarrow}} & \mathcal {A} ^ {k + 1} (M) \\ \downarrow^ {I} & & \downarrow^ {I} \\ S _ {\infty} ^ {k} (M) & \stackrel {{\delta}} {{\longrightarrow}} & S _ {\infty} ^ {k + 1} (M) \end{array}

证明 上述图表的交换性就是 Stokes 公式的体现：取 \omega \in \mathcal{A}^k(M)，c \in S_{k+1}^\infty(M) 那么根据 Stokes 公式，有

I (\mathrm{d} \omega) (\dot {c}) = \int_ {c} \mathrm{d} \omega = \int_ {\partial c} \omega = I (\omega) (\partial c).

所以 I \circ d = \delta \circ I.

由此 I 将诱导出上同调群 H_{dR}^{k}(M) 和 H^{k}(M;\mathbb{R}) 之间的同态. de Rham 在 20 世纪 30 年代证明了

H _ {d R} ^ {k} (M)

H ^ {k} (M; \mathbb {R})

证明 如果对于流形 M, I: H_{dR}^{p}(M) \to H^{p}(M; \mathbb{R}) 对任意 p 都是同构，就称其为一个 de Rham 流形。所以我们的目标就是证明所有的光滑流形都是 de Rham 流形。

设 \{U_{i}\} 是 M 的一个开覆盖，如果每个成员 U_{i} 都是 de Rham 流形，且任意有限交集 U_{i_{1}} \cap U_{i_{2}} \cap \cdots \cap U_{i_{k}} 都是 de Rham 流形，则称该覆盖为一个 de Rham 覆盖。如果一个 de Rham 覆盖的元素又构成了 M 作为拓扑空间的一个拓扑基，那么这个覆盖成为 M 的一个 de Rham 基。

下面开始逐步构建任意流形上的 de Rham 基。

第一步：若 M_{j} 是 de Rham 流形，则它们的可数无交并 \sqcup M_{j} 也是 de Rham 流形。这是因为很容易证明无交并空间的 de Rham 上同调群就是每个分支的直和。

第二步：每一个开的凸集 U \subset \mathbb{R}^n 是一个 de Rham 流形。对于 p \neq 0，H_{dR}^{p}(U) = H^{p}(U; \mathbb{R}) = 0。所以同构是平凡的。对于 p = 0，H_{dR}^{0}(U) 是一维线性空间，对应于 U 上的常值函数；H^{0}(U; \mathbb{R}) 也是一维线性空间。任取一个奇异 0 单形：\sigma : \Delta_{0} \to U 就构成 H_{0}(U) 的一个基。设 f \equiv 1，根据 I 的定义，发现

I (f) (\sigma) = \int_ {\Delta_ {0}} \sigma * f = f \circ \sigma (0) = 1.

也就是说 I(f) 是 H^0 (U;\mathbb{R}) 中的非零元。由于 \dim (H_{dR}^0 (U)) = \dim (H^0 (U;\mathbb{R})) = 1, 所以 I 自然是一个同构。

第三步：如果 M 存在一个有限 de Rham 覆盖，则 M 是 de Rham 流形。这是最硬核的一步。我们利用归纳法，设 M = U \cup V，其中 U, V, U \cap V 都是 de Rham 流形。所以在 M-V 序列中，得到下列交换图表：

\begin{array}{c c c c c c} H _ {d R} ^ {p - 1} (U) \oplus H _ {d R} ^ {p - 1} (V) & \longrightarrow & H _ {d R} ^ {p - 1} (U \cap V) & \longrightarrow & H _ {d R} ^ {p} (M) & \longrightarrow \\ \downarrow^ {I} & & \downarrow^ {I} & & \downarrow^ {I} \\ H ^ {p - 1} (U; \mathbb {R}) \oplus H ^ {p - 1} (V; \mathbb {R}) & \longrightarrow & H ^ {p - 1} (U \cap V; \mathbb {R}) & \longrightarrow & H ^ {p} (M; \mathbb {R}) & \longrightarrow \\ \longrightarrow & H _ {d R} ^ {p} (U) \oplus H _ {d R} ^ {p} (V) & \longrightarrow & H _ {d R} ^ {p} (U \cap V) \\ & \downarrow^ {I} & & \downarrow^ {I} \\ \longrightarrow & H ^ {p} (U; \mathbb {R}) \oplus H ^ {p} (V; \mathbb {R}) & \longrightarrow & H ^ {p} (U \cap V; \mathbb {R}). \end{array}

根据归纳假设，第一、二、四、五的竖向箭头是同构，由同调代数的一个经典练习（五引理）可以推知中间竖向箭头也是一个同构。

现设 M = U_{1} \cup U_{2} \cup \cdots \cup U_{k+1}，可令 U = U_{1} \cup \cdots \cup U_{k}, V = U_{k+1}，由于 U \cap V = \bigcap_{i=1}^{k} (U_{i} \cap V) 这样根据归纳假设 U 和 U \cap V 都是 de Rham 流形，所以 M 是 de Rham 流形。

第四步：如果 M 有一个 de Rham 基，则 M 是 de Rham 流形。设 \{U_{\alpha}\} 是 M 的

一个 de Rham 基。取一穷竭函数 f: M \to \mathbb{R} （参见附录 A.3），对 m \in \mathbb{N}，令

A _ {m} = \{q \in M: m \leqslant f (q) \leqslant m + 1 \},

A _ {m} ^ {\prime} = \left\{q \in M: m - \frac {1}{2} <   f (q) <   m + \frac {3}{2} \right\},\tag{3.13}

\forall p \in A_m，存在拓扑基中的开集 A_m' \supset U_p \ni p，这样的开集构成了紧集 A_m 的开覆盖，所以可以取一个有限子覆盖，将这些子覆盖的并集记为 B_m，根据第三步，B_m 是一个 de Rham 流形。根据 A_m' 的定义，B_m 只有可能和 B_{m-1}, B_{m+1} 有非空交集。这样

U = \bigcup_ {m \text {偶数}} B _ {m}, V = \bigcup_ {m \text {奇数}} B _ {m}

均为 de Rham 流形的无交并，所以也是 de Rham 流形。类似的，

U \cap V = \bigsqcup_ {m \text {偶数}} (B _ {m} \cap B _ {m + 1}).

所以也是 de Rham 流形。这样 M = U \cup V 也是 de Rham 流形。

第五步：任意 \mathbb{R}^n 的开集是 de Rham 流形。开球是欧氏拓扑的一组基，且开球都是凸集，根据第二步和第四步知任意开集是 de Rham 流形。

第六步：任意光滑流形是 de Rham 流形，这当然就是第四步和第五步的直接推论。

*3.9 Hodge 定理简介

本节对Hodge定理做一个简要介绍，该理论的要点在于通过流形上的Riemann度量诱导出微分形式空间上的内积。在这个内积空间中由外微分和Hodge星算子定义出流形 M 上的Laplace算子 \Delta，这是一个自伴线性椭圆算子，有很好的分析性质。这一套流程将椭圆算子理论引入微分形式的研究中. Hodge定理是说任何一个上同调类中都有唯一的调和代表元，这个代表元满足 \Delta \omega = 0。更详细的介绍请读者参阅文献[25]的第一章。

g _ {p}: T _ {p} M \times T _ {p} M \to \mathbb {R},

所谓光滑的方式，就是在任一坐标卡 (U, x_{1}, \cdots, x_{n}) 下，

g _ {i j} (p) = g _ {p} (\partial_ {x _ {i}}, \partial_ {x _ {j}}), \quad p \in U

是 U 上的 n \times n 对称正定矩阵值光滑函数。至于 Riemann 度量的存在性，可以先在局部坐标卡上引入光滑 Riemann 度量，然后再用单位分解拼凑成整体的 Riemann 度量。

Riemann 度量 g 作为切空间上的内积，自然诱导了 \Lambda^{k}T_{p}^{*}M 上的内积。具体来说，取定 T_{p}M 上关于 g_{p} 的一组正交基 \{e_{1},\cdot,e_{n}\}，其对偶基记为 \{\theta_{1},\cdots,\theta_{n}\}。规定

\theta_ {i _ {1}} \wedge \dots \wedge \theta_ {i _ {k}}, \quad 1 \leqslant i _ {1} <   \dots <   i _ {k} \leqslant n

为 \Lambda^{k}T_{p}^{*}M 的一组正交基。可以验证，这样的规定和正交基 \{e_{1},\cdots,e_{n}\} 的选取无关。该逐点内积之于整个流形表示为

\langle \cdot , \cdot \rangle : \mathcal {A} ^ {k} (M) \times \mathcal {A} ^ {k} (M) \rightarrow C ^ {\infty} (M).

设 (M,g) 为一可定向Riemann流形，根据 g 在 \Lambda^k T_p^* M 上诱导的度量，我们可以定义一个线性等距同构：

* _ {p}: \Lambda^ {k} T _ {p} ^ {*} M \cong \Lambda^ {n - k} T _ {p} ^ {*} M.

具体而言，设 \theta_{1},\cdots,\theta_{n} 为 T_{p}M 上的正向正交基 \{e_{1},\cdots,e_{n}\} 的对偶基，对于一个指标集合 I:i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k}，设 J:j_{1}<\cdots j_{n-k} 为其关于 1,2,\cdots,n 的指标补集。记 \theta_{I}=\theta_{i_{1}}\wedge\cdots\theta_{i_{k}}，记号 \operatorname{sgn}(I,J) 表示排列 i_{1},\cdots,i_{k},j_{1},\cdots,j_{n-k} 的奇偶性指标。规定

* _ {p} (\theta_ {I}) = \operatorname{sgn} (I, J) \theta_ {J},

再以线性的方式延拓到整个 \Lambda^k T_p^* M 上。该逐点映射 ^* p 之于整个流形就得到了一个线性同构

*: \mathcal {A} ^ {k} (M) \to \mathcal {A} ^ {n - k} (M),

被称为Hodge星算子。*1\in \mathcal{A}^n (M) 称为体积形式，记为 \nu_{M}

利用Hodge星算子，定义

\mathrm{d} ^ {*} = (- 1) ^ {n (k + 1) + 1} * \mathrm{d} *: \mathcal {A} ^ {k} (M) \rightarrow \mathcal {A} ^ {k - 1} (M).

\Delta = \mathrm{dd} ^ {*} + \mathrm{d} ^ {*} \mathrm{d}: \mathcal {A} ^ {k} (M) \rightarrow \mathcal {A} ^ {k} (M)

设 (M,g) 是一个可定向紧致无边Riemann流形。任取 \omega ,\eta \in \mathcal{A}^k (M)，通过对 \langle \omega ,\eta \rangle 关于体积形式积分可以得到 \mathcal{A}^k (M) 上的一个内积：

(\omega , \eta) = \int_ {M} \langle \omega , \eta \rangle \nu_ {M}.

根据命题 3.10 的性质 (3)，也可以将内积写成

(\omega , \eta) = \int_ {M} \omega \wedge * \eta = \int_ {M} \eta \wedge * \omega .

此外，性质 (5) 表明

(* \omega , * \eta) = (\omega , \eta),

这说明Hodge星算子是保持内积的。

(\mathrm{d} \omega , \eta) = (\omega , \mathrm{d} ^ {*} \eta).

(\Delta \omega , \eta) = (\omega , \Delta \eta), \quad \forall \omega , \eta \in \mathcal {A} ^ {*} (M);

有了这些准备工作，便可以陈述 Hodge 定理。首先将全体 k 次调和形式记为

\mathcal {H} ^ {k} (M) := \{\omega \in \mathcal {A} ^ {k} (M), \Delta \omega = 0 \}.

由于调和形式都是闭形式，可以送到它代表的 de Rham 上同调类，从而得到一个自然的映射

\iota : \mathcal {H} ^ {k} (M) \to H _ {d R} ^ {k} (M).

该定理的证明超过了本书要讨论的范围，读者可参阅 [25] 的第一章。仔细体会一下，调和形式依赖于 Riemann 度量的选取，但根据 de Rham 定理，它们无形中又受制于流形的整体拓扑。可谓是“Riemann 度量千千万，调和形式不离奇（奇异同调）”.

最后举一些Hodge定理的简单应用作为本节的结束。对紧致可定向流形 M，可以定义如下双线性映射：

H _ {d R} ^ {k} (M) \times H _ {d R} ^ {n - k} (M) \to \mathbb {R}

([ \omega ], [ \eta ]) \mapsto \int_ {M} \omega \wedge \eta .

鉴于

\begin{array}{r l} \int_ {M} (\omega + \mathrm{d} \alpha) \wedge (\eta + \mathrm{d} \beta) & = \int_ {M} \omega \wedge \eta + \int_ {M} \mathrm{d} (\alpha \wedge \eta + (- 1) ^ {k} \omega \wedge \beta + \alpha \wedge \mathrm{d} \beta) \\ & = \int_ {M} \omega \wedge \eta , \end{array}

所以上述映射不依赖上同调类中代表元的选取，是合理定义的。

H _ {d R} ^ {k} (M) \times H _ {d R} ^ {n - k} (M) \to \mathbb {R}

H _ {d R} ^ {n - k} (M) \cong H _ {d R} ^ {k} (M) ^ {*}.

证明 为证非退化性，需要证明对任一非零上同调类 [\omega] \in H_{dR}^k(M)，存在 [\eta] \in H_{dR}^{n-k}(M) 使得 \int_{M} \omega \wedge \eta \neq 0。为此在流形上引入一个 Riemann 度量，不妨假设 \omega 是一个非恒为零的调和形式。令 \eta = *\omega，那么 \eta 也是调和形式，且 [\eta] \in H_{dR}^{n-k}(M)。注意到

\int_ {M} \omega \wedge \eta = (\omega , \omega) > 0.

定理得证。

紧致无边流形 M 的Euler示性数可以表为

\chi (M) = \sum_ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \dim H _ {d R} ^ {i} (M; \mathbb {R}),

所以作为 Poincaré 对偶的一个直接推论，奇数维可定向紧致无边流形的 Euler 示性数一定为零。

定义积分映射 I: \mathcal{A}^n(M) \to \mathbb{R} 为

I (\omega) = \int_ {M} \omega .

根据 Stokes 公式，如果 \omega = \mathrm{d}\eta，则 I(\omega) = \int_{M} \mathrm{d}\eta = 0，所以 I 诱导了 H_{dR}^{n}(M) \to \mathbb{R} 的映射，仍然记为 I。显见存在一个 \omega \in \mathcal{A}^{n}(M) 使得 I(\omega) \neq 0 （如一个紧支在某局部坐标卡内的和定向相容的形式），所以 I: H_{dR}^{n}(M) \to \mathbb{R} 既单又满。

如此在连通紧致可定向光滑流形 M 上，我们有 \int_{M}\omega=0 当且仅当 \omega 是恰当的，或者说 \int_{M}\omega_{1}=\int_{M}\omega_{2} 当且仅当 \omega_{1}\sim\omega_{2}。

最高次 de Rham 上同调的一个应用是定义映射度。

\int_ {M} f ^ {*} (\omega) = k \int_ {N} \omega , \quad \forall \omega \in \mathcal {A} ^ {n} (N).\tag{3.14}

k = \sum_ {x \in f ^ {- 1} (q)} \operatorname{sgn} (x).\tag{3.15}

证明 事实上，取 \theta 为 N 上一个光滑 n 形式，且 \int_{N} \theta = 1。令 k = \int_{M} f^{*}(\theta)，则 (3.14) 式必对此 k 成立。

因为对于 \omega \in \mathcal{A}^n (N)，如果 \int_N\omega = a, 则有 \omega \sim a\theta，这样 f^{*}(\omega)\sim af^{*}(\theta)，所以

\int_ {M} f ^ {*} (\omega) = \int_ {M} a f ^ {*} (\theta) = a k = k \int_ {N} \omega .

接下来说明 k 可以由 (3.15) 式给出，所以必是整数。因为 q 为 f 的正则值，所以 f^{-1}(q) 是 M 的一个零维子流形，又由于 M 本身是紧致的，所以 f^{-1}(q) 由有限多个点构成，记为 f^{-1}(q) = \{x_{1}, \cdots, x_{d}\}。根据反函数定理，存在 q 的坐标邻域 V，使得

f ^ {- 1} (V) = \bigsqcup_ {i = 1} ^ {d} U _ {i},

其中 x_{i}\in U_{i}，且 f|_{U_i} 是到 V 的微分同胚。

取一个紧支在 V 上的 n 形式 \theta，满足 \int_{N} \theta = \int_{V} \theta = 1。那么 f^{*}(\theta) 就是紧支在 \bigcup_{i=1}^{d} U_{i} 上的 M 上的 n 形式。因为 f: U_{i} \to V 是微分同胚，就有

\int_ {U _ {i}} f ^ {*} (\theta) = \pm \int_ {V} \theta .

正负号的选择视 df 是否保持定向。于是

k = \int_ {M} f ^ {*} (\theta) = \sum_ {i = 1} ^ {d} \int_ {U _ {i}} f ^ {*} (\theta) = \sum_ {x \in f ^ {- 1} (q)} \operatorname{sgn} (x).

映射度有如下性质，证明留作习题。

证明 反证法。如果 F 没有不动点，那么可以定义一个光滑映射 G: \bar{B}^n \to S^{n-1} 为

G (x) = \frac {x - F (x)}{| x - F (x) |}.

将 G 在边界上限制记为 g. 根据本章习题 41 知 \deg(g)=0。另一方面，

H (x, t) = \frac {x - t F (x)}{| x - t F (x) |}.

对 t \in [0,1] 都是有定义的，于是建立了一个 g 到恒同映射 id 的同伦，而 \deg (\mathrm{id}) = 1 矛盾。

证明 设 X 为球面 \mathbb{S}^n 上一个处处非零的光滑向量场，令

H (p, t) = \cos (t) p + \sin (t) X (p), \quad t \in [ 0, \pi ].

这样 H 实际上建立一个从恒同映射 \mathrm{id}:\mathbb{S}^n\to \mathbb{S}^n 到对径映射-id的光滑同伦，于是

\deg (\mathrm{id}) = \deg (- \mathrm{id}) = (- 1) ^ {n + 1}

（球面对径映射的映射度计算见本章习题15），所以 n 必为奇数。在奇数维球面上构造处处非零光滑向量场的问题就留给读者了。

第三章练习

T M = \bigsqcup_ {p \in M} T _ {p} M

a (x, y) = (x, y + 1), \quad b (x, y) = (x + 1, 1 - y)

\varphi (x _ {1}, \dots , x _ {n + 1}) = (- x _ {1}, \dots , - x _ {n + 1}).

\mathbb {R} \ni t \mapsto (\mathrm{e} ^ {2 \pi \mathrm{i} t}, \mathrm{e} ^ {2 \pi \mathrm{i} \alpha t}) \in \mathbb {T} ^ {2}.

\left. \frac {\partial}{\partial x _ {j}} \right| _ {p} = \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {\partial y _ {i}}{\partial x _ {j}} \frac {\partial}{\partial y _ {i}} \Bigg | _ {p}.

X = y \frac {\partial}{\partial x} - x \frac {\partial}{\partial y}, \quad Y = z \frac {\partial}{\partial y} - y \frac {\partial}{\partial z}, \quad Z = \frac {\partial}{\partial x} + \frac {\partial}{\partial y} + \frac {\partial}{\partial z},

\theta = \mathrm{d} z - \sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i} \mathrm{d} x _ {i}

\mathrm{d} x _ {i _ {1}} \wedge \dots \wedge \mathrm{d} x _ {i _ {k}} \in \mathcal {A} ^ {k} (\mathbb {R} ^ {n})